[論文レビュー] About the Schouten-Weyl tensor on 3-dimensional Lorenzian Lie groups

Олеся Павловна Хромова, P. N. Klepikov+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2017

Advanced Differential Geometry Research参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、左不変なローレンツ計量を備えた3次元リー群におけるショウテン–ウェイルテンソルの研究を行い、その二乗長がゼロ（等方的）であるか、または回転と発散がゼロ（ほぼ調和的）である場合に注目している。擬正規直交基底を用いた明示的計算を通じて、ショウテン–ウェイルテンソルおよびその縮約が調和的または等方的となるリー代数とベクトル場を分類し、構造定数およびベクトル成分に関する明示的な代数的条件を導出している。主な結果はリー代数 $τ_1$, $τ_2$, $τ_3$, および $τ_4$ に現れる。本研究は、3次元のローレンツ的設定における調和的ウェイルテンソルに関する先行研究を拡張している。

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to investigate the Schouten-Weyl tensor on the three-dimensional Lie groups with left-invariant Lorenzian metrics. The left-invariant Lorentzian metrics on the three-dimensional Lie groups with squared length zero Schouten-Weyl tensor are studied. Moreover, the three-dimensional metric Lie groups with almost harmonic (i.e. with zero curl and divergence) Schouten-Weyl tensor are investigated. In addition, the question about the harmonicity of contraction of the Schouten-Weyl tensor is considered.

研究の動機と目的

• 左不変なローレンツ計量を備えた3次元メトリックリー群のうち、ショウテン–ウェイルテンソルが等方的（二乗長がゼロ）であるものを分類すること。
• ショウテン–ウェイルテンソルがほぼ調和的（回転と発散がゼロ）であるリー群を特定すること。
• 左不変ベクトル場との縮約におけるショウテン–ウェイルテンソルの調和性を調査すること。
• 縮約によって得られるテンソルが調和的であるための条件を、回転および発散作用素を用いて特定すること。

提案手法

• 研究では、単模3次元リー群に擬正規直交フレーム場を用い、ショウテン–ウェイルテンソルを構造定数および計量成分の関数として表現する。
• ショウテン–ウェイルテンソルの二乗長は $\|SW\|^2 = SW_{ijk}SW^{ijk}$ により計算され、等方性は $\|SW\|^2 = 0$ かつ $SW \neq 0$ で定義される。
• ショウテン–ウェイルテンソルおよびその縮約の調和性は、テンソル成分の共変微分を用いて定義される回転および発散作用素を用いて分析される。
• 左不変ベクトル場 $V^k$ との縮約では、テンソル $w_{ij} = V^k SW_{kij}$ が形成され、その回転と発散が計算され、調和性がテストされる。
• 回転と発散がゼロであるという条件 $\mathrm{curl}(w) = 0$ および $\mathrm{div}(w) = 0$ から得られる多項方程式系を解き、構造定数およびベクトル場成分に関する解を求める。
• 調和的ベクトル場は、$V^i_{,j} - V^j_{,i} = 0$ および $V^i_{,i} = 0$ を満たすものとして特定され、これらは成分および構造定数に関する代数的条件に簡略化される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 左不変なローレンツ計量を備えた3次元単模リー群のうち、ショウテン–ウェイルテンソルが等方的であるのはどの群か？
• RQ2 どの3次元リー群が、ショウテン–ウェイルテンソルがほぼ調和的（回転と発散がゼロ）であるか？
• RQ3 左不変ベクトル場との縮約が調和的であるための条件は何か？
• RQ4 特定のリー代数 ($\mathcal{A}_1$, $\mathcal{A}_2$, $\mathcal{A}_3$, $\mathcal{A}_4$) において、ショウテン–ウェイルテンソルが調和的または等方的であるのはどの場合か？
• RQ5 調和的縮約をもたらす構造定数とベクトル場成分の明示的な代数的関係は何か？

主な発見

• リー代数 $\mathcal{A}_1$ において、$V = (V^1, V^2, V^3)$、$\lambda_1 = -2$、$\lambda_2 = 0$ の解は、ショウテン–ウェイルテンソルの調和的縮約をもたらす。
• $\mathcal{A}_1$ において、第二の解が存在し、$V = (0, V^2, V^3)$、$\lambda_2 = \frac{(V^3)^2 - (V^2)^2}{2V^2V^3}$、$\lambda_1$ は $V^2$ と $V^3$ の関数 $F$、$H$、$Q$ を含む複素根を用いて表現され、特定の $V^2/V^3$ の比を除いて有効である。
• $\mathcal{A}_1$ において、解 $V = (0, V^2, V^2)$、$\lambda_1 \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$、$\lambda_2 = 0$ は、調和的縮約をもたらす。
• $V = (V^1, 0, 0)$、$\lambda_1 = 0$、$\lambda_2 \neq 0$ の解は、調和的ベクトル場条件を満たさないため、調和的縮約をもたらさない。
• $\mathcal{A}_3$ において、解 $V = (0, -V^3, V^3)$、$\lambda = 0$ は、ショウテン–ウェイルテンソルの調和的縮約をもたらす。
• $\mathcal{A}_3$ において、第二の解が存在し、$V^1$ と $V^2$ が $V^3$ と $\lambda$ の有理関数として表現され、$\lambda \approx \pm 89.072$ である。しかしこの解では、調和的ベクトル場条件が破れるため、縮約は調和的でない。