[論文レビュー] About uniform regularity of collections of sets

Alexander Y. Kruger, Nguyen Hieu Thao|arXiv (Cornell University)|May 1, 2013

Optimization and Variational Analysis参考文献 40被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、ヒルバート空間における集合の族の均一正則性のための原始的および双対的特徴付け定数の間の関係を確立し、投影アルゴリズムの収束速度を定量的に分析する枠組みを提供する。本稿は、クルガーらが導入した双対空間定数が、ルイスらが導入した定数の修正版と同等であることを証明しており、均一正則性の条件下で、サイクル的および平均化投影法の線形収束見積もりを可能にする。

ABSTRACT

We further investigate the uniform regularity property of collections of sets via primal and dual characterizing constants. These constants play an important role in determining convergence rates of projection algorithms for solving feasibility problems.

研究の動機と目的

• 均一正則性の文脈において、クルガーらが導入した双対空間定数と、ルイスらが導入した定数との関係を確立すること。
• ヒルバート空間における双対空間定数の簡略化された同等表現を提供すること。
• 導出された定数を応用して、サイクル的および平均化投影アルゴリズムの収束速度見積もりを求める。
• 2集合の場合を越えて、ヒルバート空間内の有限個の集合の族への投影法の収束解析を拡張すること。

提案手法

• 任意のヒルバート空間の設定において、ルイスら（2009年）の定数の修正版を導入する。
• ヒルバート空間における簡略化された表現を用いて、この修正定数とクルガー（2005年、2006年、2009年、2012年）の双対空間定数との同値性を確立する。
• 同値性を用いて、有限次元ヒルバート空間におけるサイクル的投影法の収束速度見積もりを導出する。
• m個の集合の可解性問題を積空間における2集合問題に埋め込むことで、結果を平均化投影アルゴリズムに適用する。
• 定数 $\hat{\theta}[\mathbb{\Omega}](\bar{x}) > 0$ で特徴づけられる均一正則性の性質を用いて、線形収束を保証する。
• 初期点が解に十分近い場合、交互投影法および平均化投影法によって生成される列が、集合の共通部分集合内の点に線形に収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルバート空間において、クルガーらの双対空間定数とルイスらの定数との関係は何か？
• RQ2 ヒルバート空間において、双対空間定数は簡略化可能か？ その同等表現は何か？
• RQ3 有限個の集合に対して、サイクル的投影法が線形収束する条件は何か？
• RQ4 均一正則性の性質を用いて、平均化投影アルゴリズムの収束をどのように分析できるか？
• RQ5 均一正則性定数 $\hat{\theta}[\mathbb{\Omega}](\bar{x})$ は、収束速度を決定する上で果たす役割は何か？

主な発見

• クルガーらの双対空間定数は、ヒルバート空間において、ルイスらが導入した定数の修正版と同等である。
• ヒルバート空間において、双対空間定数は簡略化された同等表現を有し、その計算および応用を容易にする。
• 均一正則性の下で、サイクル的投影法の線形収束が確立され、収束速度は $\sqrt[m]{c}$ で有界となる。ここで $c \in (0,1)$ である。
• 集合の族が均一正則であり、初期点が解に十分近い場合、平均化投影アルゴリズムは、集合の共通部分集合内の点に線形に収束する。
• 2集合に対する交互投影法の収束速度は、主定理の結果として線形である。
• 積空間への埋め込みを用いて、平均化投影アルゴリズムへと結果を拡張し、同じ均一正則性条件下で線形収束が証明された。