[論文レビュー] Absence of percolation in the Bernoulli Boolean model

Cristian F. Coletti, Sebastian P. Grynberg|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$ℤ^d$ 上の離散ベルヌーイボレルモデルにおける透過の不在を保証する条件を確立し、半径分布の$d$次モーメントが有限であれば、強度$p$が十分に小さいとき、連結成分がほとんど確実に有限であることを証明する。この結果は非一様な$p_x$へと拡張され、カリコウ型分解仮定の下で、ハリス図的手続きを用いて無限範囲相互作用を有する相互作用粒子系の構成が可能となる。

ABSTRACT

We consider the Bernoulli Boolean discrete percolation model on the d-dimensional integer lattice. We study sufficient conditions on the distribution of the radii of balls placed at the points of a Bernoulli point process for the absence of percolation, provided that the intensity of the underlying point process is small enough. We also study a Harris graphical procedure to construct, forward in time, particle systems with interactions of infinite range under the assumption that the corresponding generator admits a Kalikow-type decomposition. We do so by using the subcriticality of the boolean model of discrete percolation.

研究の動機と目的

• $ℤ^d$ 上の離散ベルヌーイボレルモデルにおける透過の不在を保証する十分条件を確立すること。
• 半径分布の$d$次モーメントが準臨界的挙動に与える役割を特定すること。
• 準臨界性の結果を非一様な保持確率$p_x$へと拡張すること。
• 準臨界性の結果を、無限範囲相互作用を有する相互作用粒子系の図的構成に応用すること。
• カリコウ型分解の仮定の下で、このような系の構成的手法を提示すること。

提案手法

• $ℤ^d$ 上でi.i.d.な半径$R_x$と保持確率$p_x$を有する離散ベルヌーイボレルモデルを定義する。
• カップリングの議論を用いて、定数$p_x = p$における準臨界性の結果を非定数$p_x$へと拡張する。
• 特に$S_{nr} \subset \bigcup_{x \in S_n} B(rx, \frac{d}{2}r)$のような$L_1$-球および球面に関する幾何的推定を用い、クラスタの成長を制御する。
• もし$\mathbb{E}[R^d] < \infty$であれば、$p$が十分に小さいとき、占有クラスタはほとんど確実に有限であることを証明する。
• ボレルモデルの準臨界性を用いて、有限の島$C_\ell$上のポアソン過程を介した図的カップリングを構成する。
• 各サイトにおける状態更新を用いて、順序付きのジャンプ時刻$\tau_k$の上に再帰的に無限体積過程を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半径分布にどのような条件下で、離散ベルヌーイボレルモデルは透過を示さないか？
• RQ2 半径の$d$次モーメントが準臨界的挙動を決定づける上で果たす重要な役割は何か？
• RQ3 準臨界性の結果は非一様な保持確率$p_x$へと拡張可能か？
• RQ4 ボレルモデルの準臨界性は、無限範囲相互作用を有する相互作用粒子系の図的構成にどのように利用可能か？
• RQ5 生成子にどのような条件が課されれば、カリコウ型分解が可能となり、このような図的構成が可能になるか？

主な発見

• すべての$x$に対して$p_x = p \in (0,1)$であり、$\mathbb{E}[R^d] < \infty$であれば、十分に小さい$p$に対してボレルモデルの連結成分はほとんど確実に有限である。
• $\mathbb{E}[R^d] = \infty$であれば、$p$がどれほど小さくても透過が発生するため、$d$次モーメントが鋭い閾値であることが示唆される。
• 半径分布の$d$次モーメントが有限であれば、カップリングの議論により、非定数$p_x$に対しても準臨界性の結果が拡張可能である。
• 生成子がカリコウ型分解を許容する仮定の下では、無限範囲相互作用を有する相互作用粒子系の図的構成が可能である。
• 構成は、相互作用のない有限の島$C_\ell$に$ℤ^d$を分割することで達成され、各成分に対して再帰的にシミュレーションが可能となる。
• この手法は、ポアソン過程からのジャンプ時刻の順序付けと、対応するレートおよび環境を用いた各サイトにおける状態更新に依存する。