[論文レビュー] Absence of renormalization group pathologies in some critical Dyson-Ising ferromagnets

Tom Kennedy|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2020

Theoretical and Computational Physics参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、長距離相互作用を有する修正された1次元Dyson-Ising強磁性体に対して、縮約群（RG）変換の最初の段階（縮小または多数決ルール）の厳密な存在を確立する。近接スピン間の強い結合（$\gamma$）を長距離相互作用（$\epsilon$）に対して導入することで、著者らは臨界付近でも縮約測度がギブス的であることを証明した。これは、低温における標準的モデルでVan EnterとLe Nyが特定した病理的現象を解消するものである。

ABSTRACT

The Dyson-Ising ferromagnet is a one-dimensional Ising model with a power law interaction. When the power is between -1 and -2, the model has a phase transition. Van Enter and Le Ny proved that at sufficiently low temperatures the decimation renormalization group transformation is not defined in the sense that the renormalized measure is not a Gibbs measure. We consider a modified model in which the nearest neighbor couplings are much larger than the other couplings. For a family of Hamiltonians which includes critical cases, we prove that the first step of the renormalization group transformation can be rigorously defined for majority rule and decimation.

研究の動機と目的

• 標準的臨界Dyson-Isingモデルにおける低温下での縮小RG変換の失敗を解消する。具体的には、縮約測度がギブス的でなくなる問題を扱う。
• 近接スピン相互作用（$\gamma$）を長距離相互作用（$\epsilon$）に対して強くすることで、最初のRG段階のwell-definedness（適切に定義された性質）を回復することを示す。
• 臨界点を含むパrameter領域へのRG手法の有効性を拡張する。ここでは非厳密な取り扱いが最も重要となる。
• $\epsilon$が十分小さく、すべての$\gamma > 0$に対して、縮小および多数決ルール変換が、修正モデルにおいてwell-definedなRG写像をもたらすことを証明する。

提案手法

• 近接スピン間の相互作用に$\gamma$、長距離相互作用に$\epsilon$を別々のパラメータとして導入した修正ハミルトニアンを定義し、結合強度を独立に調整可能にする。
• 赤外境界とガウス支配を用いてスピン相関を制御し、$\gamma$が$\epsilon$に対して十分に大きい場合の長距離秩序を証明する。
• 反射正値性と$J_{j,k} = |j-k|^{-\alpha}$の積分表現を用いて、ガウス支配境界を確立する。これは赤外境界を証明するための重要なステップである。
• $h_j = \delta e^{ipj}$に関するガウス支配不等式の2次近似を用いて、赤外境界$g_m(p) \leq 1/(2E(p))$を導出する。
• 双対格子$\Lambda^*$を用い、$p \in \Lambda^*$の和を取ることで、磁化率の振る舞いを解析し、$p=0$における点質量を用いて長距離秩序を検出する。
• 下界$R(p) \geq c p^{\alpha-1}$を用いて、$\sup_m \frac{1}{2m} \sum_{p \in \Lambda^*} \frac{1}{R(p)} < \infty$を証明し、$1 < \alpha < 2$の範囲で可積分性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的臨界Dyson-Isingモデルで過去の手法が失敗する状況において、RG変換の最初の段階を厳密に定義することは可能か？
• RQ2 近接スピン結合（$\gamma$）を強く導入することで、低温下における縮約測度が非ギブス的になるのを防げるか？
• RQ3 修正ハミルトニアンに対してガウス支配境界は有効か？これにより赤外境界の導出が可能か？
• RQ4 $\epsilon$が小さいとき、すべての$\gamma > 0$に対して、赤外境界が修正モデルにおける長距離秩序を検出可能か？
• RQ5 この手法は臨界領域において、縮小と多数決ルールの両方の変換に拡張可能か？

主な発見

• 任意の$\alpha \in (1,2)$に対して、$\epsilon_0 > 0$が存在し、すべての$\epsilon < \epsilon_0$およびすべての$\gamma > 0$に対して、縮小または多数決ルールによる最初のRG段階がwell-definedである。
• 修正モデルでは、臨界付近でも縮約測度がギブス的であり続ける。これは、Van EnterとLe Nyが標準的モデルで特定した病理的現象を解消するものである。
• ガウス支配により証明されたため、赤外境界$g_m(p) \leq 1/(2E(p))$が成立する。ガウス支配は、反射正値性と$J_{j,k}$の積分表現を用いて証明される。
• $\sup_m \frac{1}{2m} \sum_{p \in \Lambda^*} \frac{1}{R(p)} < \infty$の和は、$R(p) \geq c p^{\alpha-1}$および$\alpha - 1 < 1$であるため、$p=0$付近で可積分であり、有限である。
• $\gamma \to \infty$のとき、積分$\int \frac{dp}{E(p)} \to 0$となる。これは磁化率に$p=0$における点質量を示し、長距離秩序を示唆する。
• 証明は、$N_{j,k}$および$J_{j,k}$の反射正値性に依存し、$n^{-\alpha} = \int_0^1 \lambda^n \mu(d\lambda)$を満たす正の測度$\mu$の存在に依存する。