[論文レビュー] Absence of spurious local trajectories in time-varying optimization

Salar Fattahi, Cédric Josz+3 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2019

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 38被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、時間変動最適化における偽の局所的軌道の概念を導入し、静的非凸問題における偽の局所的解を一般化する。時間変動の最適化の地形が、関連する常微分方程式（ODE）が安定である限り、各時刻における偽の局所的解が存在しても、偽の局所的軌道が存在しないことが示されている。主な結果として、時間変動ODEは、時間不変の場合とは異なり、局所的最小値における安定な均衡を避けることができる。

ABSTRACT

In this paper, we study the landscape of optimization problems where the input data vary over time. To this end, we introduce the notion of spurious local trajectory as a generalization to the notion of spurious local solution in nonconvex (time-invariant) optimization. As a motivating case study, we consider the problem of optimal power flow in electrical networks with real-world and time-varying input data. We show that, despite the existence of spurious local solutions at every time, the time-varying landscape of the problem is free of spurious local trajectories. Inspired by this example, we propose an ordinary differential equation (ODE) which, at limit, characterizes the spurious local solutions of the time-varying optimization problem. By building upon this connection, we show that the absence of spurious local trajectory is closely related to the stability of the proposed ODE. In particular, we show that: (1) if the problem is time-invariant, the spurious local trajectories are ubiquitous since any strict local minimum is a locally stable equilibrium point of the ODE, and (2) if the ODE is time-varying, the local minima of the optimization problem may neither be equilibrium nor stable for the proposed ODE. To illustrate the applicability of the developed results, we consider a class of univariate problems with spurious local minima and provide sufficient conditions under which they are free of spurious local trajectories.

研究の動機と目的

• 非凸最適化における偽の局所的解の概念を時間変動最適化に一般化し、偽の局所的軌道を導入すること。
• 時間変動最適化問題の地形を分析し、実世界の時間変動データを用いた動的最適潮流における応用を特に対象とする。
• 各時刻において偽の局所的解が存在するにもかかわらず、偽の局所的軌道が存在しない条件を確立すること。
• 関連する常微分方程式（ODE）の安定性特性と、偽の局所的軌道の不在を結びつけること。

提案手法

• 非凸最適化における偽の局所的解の時間変動一般化として、偽の局所的軌道の概念を導入する。
• 時間変動最適化問題の偽の局所的解に対応する均衡点を持つ常微分方程式（ODE）を提案する。
• ODEの均衡点の安定性を分析し、時間変動地形における偽の局所的軌道の有無を特定する。
• 時間不変問題において、すべての厳密な局所的最小値がODEの局所的安定均衡点であることを示し、偽の局所的軌道が広く存在することを示す。
• 時間変動問題において、局所的最小値がODEの均衡点でないか、安定でない場合があることを示し、偽の局所的軌道の回避が可能になることを示す。
• 単変数時間変動最適化問題において、偽の局所的最小値が存在するが、ODEの安定性に基づいて、偽の局所的軌道が存在しない十分条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間変動最適化問題が、各時刻において偽の局所的解を有するにもかかわらず、偽の局所的軌道が存在しない条件は何か？
• RQ2 関連する常微分方程式（ODE）の安定性は、時間変動最適化における偽の局所的軌道の不在とどのように関係するか？
• RQ3 なぜ時間不変問題では偽の局所的軌道が広く存在するのか、時間変動設定と比べてどのように異なるのか？
• RQ4 偽の局所的最小値が存在する単変数時間変動問題は、偽の局所的軌道を回避できるか、その場合の条件は何か？
• RQ5 ODEの均衡構造が、動的最適化地形における偽の局所的軌道の有無を決定する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 関連するODEが安定である限り、時間変動最適化において偽の局所的軌道は存在しない。これは、各時刻において偽の局所的解が存在する場合でも同様である。
• 時間不変問題において、すべての厳密な局所的最小値がODEの局所的安定均衡点であるため、偽の局所的軌道が広く存在する。
• 時間変動問題において、局所的最小値がODEの均衡点でないか、安定でない場合があるため、偽の局所的軌道の回避が可能になる。
• 偽の局所的最小値が存在する単変数時間変動問題のクラスについて、ODEの安定性に基づいて、偽の局所的軌道が存在しない十分条件が導出された。
• ODEの安定性は、偽の局所的軌道の有無を決定づける重要な要因であり、地形解析に動的基準を提供する。
• 提案されたODEフレームワークにより、静的非凸性を超えた動的最適化地形の体系的分析が可能になった。