[論文レビュー] Absence of true localization in many-body localized phases

Maximilian Kiefer-Emmanouilidis, R. G. Unanyan+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2020

Quantum many-body systems被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、無秩序な量子スピン鎖における多体局在化（MBL）相が真の局在性を示さないという数値的証拠を提示している。強化された無秩序性下でも、粒子数エンタルピー $ S_N \sim \ln\ln t $ は時間とともにゆっくりかつ連続的に増加し、これは局在化の標準的図式とは相反する。$ S_N $ が飽和しないことは、熱平衡的性質が依然として保持されることを示唆し、熱力学的極限においても強力な無秩序性下にあっても系はエルゴード的である。

ABSTRACT

We have recently shown that the logarithmic growth of the entanglement entropy following a quantum quench in a many-body localized (MBL) phase is accompanied by a slow growth of the number entropy, $S_N\sim\ln\ln t$. Here we provide an in-depth numerical study of $S_N(t)$ for the disordered Heisenberg chain and show that this behavior is not transient and persists even for very strong disorder. Calculating the truncated Rényi number entropy $S_N^{(α)}(t)=(1-α)^{-1}\ln\sum_n p^α(n)$ for $α\ll 1$ and $p(n)>p_c$ -- which is sensitive to large number fluctuations occurring with low probability -- we demonstrate that the particle number distribution $p(n)$ in one half of the system has a continuously growing tail. This indicates a slow but steady increase of the number of particles crossing between the partitions in the interacting case, and is in sharp contrast to Anderson localization, for which we show that $S_N^{(α o 0)}(t)$ saturates for any cutoff $p_c>0$. We show, furthermore, that the growth of $S_N$ is $\mathit not$ the consequence of rare states or rare regions but rather represents typical behavior. These findings provide strong evidence that the interacting system is never fully localized even for very strong but finite disorder.

研究の動機と目的

• MBL相におけるエンタルピーの対数的増加が、不完全な局在性を示す継続的増加を伴う粒子数エンタルピー $ S_N $ を伴うかどうかを調査すること。
• 観測された $ S_N \sim \ln\ln t $ 行動が一時的であるのか、強力な無秩序性下で持続的であるのかを特定し、レア領域や有限サイズ効果を除外すること。
• 粒子数エンタルピー $ S_N $ の増加がMBL相の典型的特徴であるのか、それともエルゴード-MBL遷移付近の珍しい状態に起因するのかを評価すること。
• 有限サイズ補外による $ S_N $ 飽和値の信頼性を評価し、以前の $ S_N $ の減少が局在化の証拠であると解釈された事柄を疑問視すること。

提案手法

• 系サイズ $ L = 24 $ までをカバーする無秩序ヘイゼンベルグ鎖の数値的厳密対角化を、臨界値の2倍までの無秩序強度で実施。
• $ \alpha \ll 1 $ の場合の切断リーマン粒子数エンタルピー $ S_N^{(\alpha)}(t) = (1 - \alpha)^{-1} \ln \sum_n p^n(n) $ の計算を行い、粒子数分布におけるゆっくりとした尾部の検出に注目。
• 1つのサブシステムにおける粒子数 $ p(n) $ の確率分布の全貌を分析し、持続的な尾部の出現を特定することで、継続的な粒子移動の兆候を特定。
• 二重対数フィット $ S_N(t) \approx (\nu/2)\ln\ln t + b $ を用いて飽和値を補外し、$ t_{\text{sat}} \sim \exp(L) $ を推定。数値精度の限界を考慮。
• 非相互作用・非対角的無秩序モデルとの比較により、観測された挙動が可積分性や特別な対称性の影響によるアーティファクトではないことを確認。
• 複数の無秩序強度と系サイズにおける $ S_N(t) $ の系統的分析により、スケーリング挙動と有限サイズデータにおける非単調性を評価。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 MBL相における粒子数エンタルピー $ S_N $ は時間とともに無限に増加するのか、それとも最終的に飽和するのか？
• RQ2 観測された $ S_N \sim \ln\ln t $ 増加は一時的効果なのか、それとも強力な無秩序性下でのMBL相の本質的特徴なのか？
• RQ3 $ S_N $ の持続的増加は、レア領域や珍しい状態に起因するのか、それともMBL相における典型的な挙動なのか？
• RQ4 有限サイズ補外による $ S_N $ 飽和値は、局在化を信頼できる指標として妥当なのか、それとも非単調なスケーリングにより $ S_N $ の減少が誤解を招くのか？
• RQ5 $ \alpha \to 0 $ の場合の $ S_N^{(\alpha)} $ の挙動は、相互作用を持つMBL系と非相互作用のアインシュタイン局在系とでどのように異なるのか？

主な発見

• 粒子数エンタルピー $ S_N(t) $ は、臨界値の2倍の無秩序強度下でも、時間とともに $ \ln\ln t $ のように増加し、これは持続的な粒子数フラクチュエーションを示唆している。
• 1つのサブシステムにおける粒子数分布 $ p(n) $ は、持続的に成長する尾部を発達させ、これは境界を越えた継続的な粒子移動の兆候である。
• $ \alpha \ll 1 $ の場合の切断リーマン粒子数エンタルピー $ S_N^{(\alpha)} $ は、持続的な増加を示し、低確率の大きな数のフラクチュエーションが一時的ではなく、時間とともに蓄積されることを確認した。
• アインシュタイン局在とは対照的に、$ p_c > 0 $ の任意の値に対して $ S_N^{(\alpha \to 0)} $ が飽和するが、相互作用を持つMBL系ではそのような飽和が観測されないため、局在化挙動に根本的な差があることが示された。
• 有限サイズスケーリングにおける $ S_N $ 飽和値は非単調的であり、明確なスケーリング関数を欠いているため、現在の手法では熱力学的極限への信頼できる補外が不可能である。
• 観測された挙動は、遷移付近の珍しい領域や状態に起因するものではなく、MBL相における典型的な力学的挙動を示しており、熱力学的極限における真のMBL相の存在を疑問視するものである。