[論文レビュー] Absence of Zero Energy States in the Simplest d=3 (d=5?) Matrix Models

Jens Hoppe, Shing‐Tung Yau|ArXiv.org|Jun 18, 1998

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、M理論の compactification に関連する最も単純な d=3 および d=5 の行列模型におけるゼロエネルギー状態を、以前の研究で提案された手法の簡略化版を用いて分析する。SU(2) × SO(d) 不変な波動関数を対象とし、d=3 では正規化可能なゼロエネルギー状態が存在しないことが確認され、以前の予想を裏付けるが、d=5 では l=1 の漸近的に正規化可能な解が1つ存在することが判明し、それがグローバル解として成立するかをさらに検討する必要がある。

ABSTRACT

The method introduced in [hep-th/9805020] is simplified, and used to calculate the asymptotic form of all SU(2) imes SO(d=3, resp. 5) invariant wave functions satisfying $Q_{\hatβ} Ψ= 0, \hatβ = 1 ... 4$ resp. 8, where $Q_{\hatβ}$ are the supercharges of the SU(2) matrix model related to supermembranes in d+2=5 (resp. 7) space-time dimensions. For d=3, there exist 2 asymptotic solutions, both of which are constant (hence non-normalizable) in the flat directions, confirming previous arguments that gauge-invariant zero energy states should not exist for d<9. For d=5, however, out of 4 asymptotic singlet solutions (3 with orbital angular momentum $l=0$, one having $l=1$) the one with $l=1$ does fall off fast enough to be asymptotically normalizable, hence requiring further analysis to be excluded as being extendable to a global solution.

研究の動機と目的

• d+2=5 もしくは 7 時空次元における超膜に関連する最も単純な行列模型において、ゲージ不変なゼロエネルギー状態の存在を調査すること。
• d=3 および d=5 において、正規化可能なゼロエネルギー波動関数が存在するかどうかを特定すること、特に SU(2) × SO(d) 不変性に注目すること。
• 超電荷条件 Q̂βΨ = 0 の解の漸近的挙動を、特に平坦方向において評価すること。
• d=5 の場合に、1つの漸近的解が正規化可能に思われるという状況の解明

提案手法

• hep-th/9805020 に提案された手法を簡略化し、SU(2) × SO(d) 不変な波動関数の漸近的形を分析する。
• β = 1,...,4 (d=3) および β = 1,...,8 (d=5) に対して、超電荷条件 Q̂βΨ = 0 を解く。これはそれぞれ4および8つの超電荷に対応する。
• 行列模型のモジュライ空間における平坦方向における波動関数の漸近的挙動を検討する。
• 軌道角運動量量子数 l による解の分類を行い、無限遠における正規化可能性を評価する。
• 物理的基底状態と見なされる可能性がある、小群 SO(d) に対するスカラー解に注目する。
• 漸近的解析を適用し、どの解が十分に速く減衰して正規化可能であるかを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SU(2) × SO(3) 不変性の下で、d=3 行列模型における正規化可能なゼロエネルギー状態は存在するか？
• RQ2 d=5 行列模型において、スケール関数のうち、漸近的に正規化可能な解は存在するか？
• RQ3 d=5 の場合における l=1 解は、グローバルに定義された正規化可能なゼロエネルギー状態に拡張可能か？
• RQ4 d=3 の場合では、解が存在するにもかかわらず、なぜ正規化可能なゼロエネルギー状態が存在しないのか？
• RQ5 軌道角運動量は、これらの模型における波動関数の漸近的正規化可能性にどのような役割を果たすか？

主な発見

• d=3 の場合、2つの漸近的解が存在し、両方とも平坦方向で定数であるため、正規化不可能であり、ゲージ不変なゼロエネルギー状態の非存在を確認する。
• d=5 の場合、4つの漸近的スケール関数解が存在する：l=0 のものが3つ、l=1 のものが1つ。l=1 の状態は、十分に速く減衰するため、漸近的に正規化可能である。
• d=5 における l=1 解は、グローバルに正規化可能なゼロエネルギー状態に至る唯一の可能性を示しており、さらなる解析を要する。
• d=3 における正規化可能なゼロエネルギー状態の非存在は、平坦方向における波動関数の定数性によって裏付けられる。
• d=5 の模型は、l=1 解の減衰挙動のおかげで、ゼロエネルギー状態が存在する非自明な可能性を示しており、d=3 とは明確に区別される。
• 解析は、d<9 ではゼロエネルギー状態が存在しないはずという予想を支持しており、d=5 はその臨界的ケースとして、1つの候補状態が浮上する。