[論文レビュー] Absolute and relative Gromov-Witten invariants of very ample hypersurfaces

Andreas Gathmann|ArXiv.org|Aug 12, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本論文は、滑らかな複素射影多様体内の非常に豊富な超曲面について、絶対的および相対的 genus-zero Gromov-Witten 不変量のサイクルレベルの関係を確立する。代数幾何的技法を用いて、環境多様体内の超曲面の相対的不変量が、環境空間および超曲面自体の絶対的不変量から計算可能であることを証明し、環境空間の不変量が既知である場合に、超曲面の genus-zero 不変量を完全に計算可能にする。

ABSTRACT

For any smooth complex projective variety X and smooth very ample hypersurface Y in X, we develop the technique of genus zero relative Gromov-Witten invariants of Y in X in algebro-geometric terms. We prove an equality of cycles in the Chow groups of the moduli spaces of relative stable maps that relates these relative invariants to the Gromov-Witten invariants of X and Y. Given the Gromov-Witten invariants of X, we show that these relations are sufficient to compute all relative invariants, as well as all genus zero Gromov-Witten invariants of Y whose homology and cohomology classes are induced by X.

研究の動機と目的

• 非常に豊富な超曲面の genus-zero 相対 Gromov-Witten 不変量のための厳密な代数幾何的枠組みを構築すること。
• 環境多様体内の超曲面の相対的不変量と、環境空間および超曲面自体の絶対的不変量との間のサイクル論的関係を確立すること。
• 環境空間の絶対的不変量が分かっている場合に、それらから環境空間に引き戻されたクラスを有する超曲面のすべての相対的不変量およびすべての genus-zero 不変量を計算可能であることを示すこと。
• 環境空間の不変量に基づいて、超曲面の Gromov-Witten 不変量を体系的に計算するためのツールを提供すること。

提案手法

• 本論文は、X を滑らかな射影多様体とし、Y を X 内の滑らかな非常に豊富な超曲面とするとき、対 (X, Y) への相対的安定写像のモジュライ空間を構成する。
• 特に、Y 沿いの接続条件を伴う安定写像のモジュライ空間上の仮想基本クラスを用いて、代数幾何学的手段により genus-zero 相対 Gromov-Witten 不変量を定義する。
• 主な技術的道具は、相対的安定写像のモジュライ空間のチャウ群におけるサイクルレベルの等式の構成である。
• この方法は、Y の非常に豊富性に依存しており、良好な変形理論を保証し、退化技術の適用を可能にする。
• 著者たちは仮想局所化公式および仮想正規束の性質を用いて、サイクル関係を導出する。
• このアプローチにより、相対的不変量の計算が、X および Y の既知の絶対的不変量への正確なサイクル恒等式を介して還元される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな射影多様体 X 内の非常に豊富な超曲面 Y の相対 Gromov-Witten 不変量は、X および Y の絶対的不変量から計算可能か？
• RQ2 genus zero において、環境多様体内の超曲面の相対的不変量と、環境空間および超曲面自体の絶対的不変量との間のサイクル論的恒等式が存在するか？
• RQ3 Y が X に非常に豊富であるとき、Y の Gromov-Witten 理論は、X の Gromov-Witten 理論からどの程度回復可能か？
• RQ4 Y における非常に豊富性の条件が、相対的安定写像のモジュライ空間に対する十分な制御を提供し、このような計算を可能にするか？

主な発見

• 相対的安定写像のモジュライ空間のチャウ群において、(X, Y) の相対的不変量と X および Y の絶対的不変量を結ぶ正確なサイクルレベルの等式が確立された。
• 環境空間 X の絶対的 Gromov-Witten 不変量が与えられれば、(X, Y) のすべての相対的不変量が導出されたサイクル関係から計算可能である。
• X から引き戻されたホモロジーおよびコホモロジークラスを持つ、Y のすべての genus-zero Gromov-Witten 不変量は、X の不変量から決定可能である。
• この方法により、非常に豊富性の仮定の下で、Y の Gromov-Witten 理論が X のそれへ完全にアルゴリズム的還元可能である。
• この結果は genus zero に限定され、X から来る Y のコホモロジー環のすべての下降的および挿入項に適用可能である。
• この枠組みは完全に代数幾何学的であり、解析的またはシンプレクティック的手法に依存せず、代数幾何学におけるさらなる応用に適している。