[論文レビュー] Absolute connectedness and classical groups

Jakub Gismatullin|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 27被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、群に対するモデル理論的絶対的連結性およびタイプ絶対的連結性の概念を導入し、無限体上の分解可能半単純線型群が絶対的に連結であることを証明している。タイプ絶対的連結性が離散的位相化された最小的ほとんど周期的群のクラスと一致することを示し、$G^{00}/G^{\infty}$ が非アーベルである群の構成により、この商の非アーベル構造に関する未解決問題を解決している。

ABSTRACT

We introduce and develop the model-theoretic notions of absolute connectedness and type-absolute connectedness for groups. We prove that groups of rational points of split semisimple linear groups (that is, Chevalley groups) over arbitrary infinite fields are absolutely connected and characterize connected Lie groups which are type-absolutely connected. We prove that the class of type-absolutely connected group is exactly the class of discretely topologized groups with trivial Bohr compactification, that is the class of minimally almost periodic groups. As an application we generalize some results of Conversano-Pillay and construct a group $G$ where G^{00}/G^{\infty} is far from being abelian.

研究の動機と目的

• 群に対するモデル理論的絶対的連結性およびタイプ絶対的連結性の概念を定義し発展させること。
• すべての飽和拡張において、$\infty$-連結成分またはタイプ連結成分が全群に等しい群を特徴づけること。
• $G^{00}/G^{\infty}$ が非アーベルになり得るかどうかという未解決問題を、そのような群の構成により解決すること。
• モデル理論的連結成分と位相的概念、特にボール compactification および最小的ほとんど周期性との関係を結ぶこと。
• 古典的群や対称群に対して、連結成分に関する結果を一般化すること。

提案手法

• 任意の一階構造を伴う群の飽和拡張において、モデル理論的連結成分 $G^{*\infty}_A$, $G^{*00}_A$, および $G^{*0}_A$ を導入する。
• すべての小さな $A$ およびすべての飽和拡張において $G^{*\infty}_A = G^{*}$ が成り立つときを絶対的連結性と定義し、$G^{*00}_A = G^{*}$ をタイプ絶対的連結性と定義する。
• 一般化された準同型および、再構成可能なコンパクトハウスドルフ群を、その在来部分群から回復する方法を用いて、$G^{00}/G^{\infty}$ が非アーベルである例を構成する。
• 対称群および無限次元線型群に関する既存の結果を応用し、$\operatorname{Sym}^\kappa(\Omega)$ および $\operatorname{GL}(V)$ がそれぞれ 16-および 128-絶対的連結であることを示す。
• 飽和拡張におけるタイプ定義可能有界指数部分群を用いて、位相群のコンパクト化の分類を確立する。
• 離散的位相化されたとき、タイプ絶対的連結性がボールコンパクト化が自明である、すなわち最小的ほとんど周期的群であることと同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群 $G$ に対して、商 $G^{00}/G^{\infty}$ が非アーベルになり得るか？
• RQ2 どの群がタイプ絶対的連結的であるか？ また、この性質は位相的コンパクト化とどのように関係するか？
• RQ3 無限体上の分解可能半単純線型群における連結成分のモデル理論的構造は何か？
• RQ4 絶対的連結性およびタイプ絶対的連結性の概念は、古典的群論および位相論とどのように関係するか？
• RQ5 タイプ絶対的連結的群のクラスは、ボールコンパクト化などの位相的不変量を用いて完全に特徴づけられるか？

主な発見

• 無限体上の任意の分解可能半単純線型群の有理点群は、絶対的に連結である。
• タイプ絶対的連結的群のクラスは、ボールコンパクト化が自明である、すなわち最小的ほとんど周期的群である群のクラスと完全に一致する。
• $G^{00}/G^{\infty}$ が非アーベルである群の構成が与えられ、未解決問題に肯定的に答えている。
• $\operatorname{Sym}^\kappa(\Omega)$ は、非可算基数 $\kappa$ に対して 16-絶対的連結的であり、$\kappa$ が極限基数であっても成り立つ。
• 無限次元一般線型群 $\operatorname{GL}(V)$ は、$V$ の分解におけるモエトゥス的対合を用いて 128-絶対的連結的であることが示された。
• すべてのハウスドルフ位相群のコンパクト化が、$G^*$ のタイプ定義可能有界指数部分群 $H$ に対する商 $G^*/H$ として分類された。