[論文レビュー] Absolute prismatic cohomology

Bhargav Bhatt, Jacob Lurie|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2022

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、カルティエ＝ウィットスタックを用いてプリズマティック・クリスタルを再解釈することで、p進コホロロジー理論を統一する枠組みとして絶対的プリズマティックコホロロジーを導入する。クリスタル、ド・ラーム、エタールコホロロジーとの基礎的比較を確立し、シントミックおよびホッジ＝トウコホロロジーを精緻化するニヤウドフィルトレーションを構成することで、p進形式的スキームにおける古典的ホッジ理論のp進類似を提供する。

ABSTRACT

The goal of this paper is to study the absolute prismatic cohomology of $p$-adic formal schemes. We do so by recasting the notion of a prismatic crystal on $\mathrm{Spf}(\mathbf{Z}_p)$ in terms of quasicoherent sheaves on a geometric object we call the Cartier-Witt stack.

研究の動機と目的

• p進形式的スキームのための統一的コホロロジー枠組みを、絶対的プリズマティックコホロロジーを用いて開発すること。
• カルティエ＝ウィットスタック上の準連接層として、$\mathrm{Spf}(\mathbf{Z}_p)$ 上のプリズマティック・クリスタルを再解釈すること。
• 絶対的プリズマティックコホロロジーとクリスタル、ド・ラーム、エタールコホロロジーなどの古典的不変量との比較を確立すること。
• 絶対的プリズマティックコホロロジーにニヤウドフィルトレーションを定義し、シントミックおよびホッジ＝トウコホロロジーを精緻化すること。
• 周期的ホモロジーおよび第一チャーン類への応用を通じて、シントミックとエタールコホロロジーを比較準同型により結びつけること。

提案手法

• プリズマとフロベニウス構造の幾何を用いて、$\mathrm{Spf}(\mathbf{Z}_p)$ 上のプリズマティック・クリスタルをカルティエ＝ウィットスタック $\operatorname{WCart}$ 上の準連接層として再定式化する。
• 相対的プリズマティックサイトを用いて絶対的プリズマティックコホロロジーを構成し、滑らかでない、あるいは固有でないスキームへクリスタルコホロロジーを一般化する。
• カルティエ＝ウィットスタック上にホッジ＝トウコホロロジー除数を定義し、それを用いて微分されたホッジコホロロジーを定義し、ホッジ＝トウコホロロジーを精緻化する。
• フロベニウスと $A_{\mathrm{crys}}(R)/pA_{\mathrm{crys}}(R)$ 上の共役フィルトレーションを用いて、絶対的プリズマティックコホロロジーにニヤウドフィルトレーションを導入し、ド・ラームおよびシントミックコホロロジーとその整合性を証明する。
• $q$-de Rhamプリズムと$p$-進ホッジ理論を用いて、絶対的プリズマティックコホロロジーとクリスタル、ド・ラーム、エタールコホロロジーとの比較定理を確立する。
• アニメートされた可換環とフィルター付き複体を用いてシントミックおよびモチビックフィルトレーションを定義・計算し、チャーン類および周期的ホモロジーへの応用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてプリズマティックコホロロジーを、p進形式的スキームのための絶対的コホロロジー理論へ拡張できるか？
• RQ2 カルティエ＝ウィットスタックがプリズマティック・クリスタルを分類し、コホロロジー的情報を整理する上で果たす幾何的役割は何か？
• RQ3 絶対的プリズマティックコホロロジー上のニヤウドフィルトレーションは、どのようにしてシントミックおよびホッジ＝トウコホロロジーを精緻化し、ド・ラームコホロロジーと関係するか？
• RQ4 絶対的プリズマティックコホロロジーとクリスタル、ド・ラーム、エタールコホロロジーとの間の比較同型は何か？
• RQ5 第一チャーン類はプリズマティック設定でどのように定義され、シントミックおよびエタールコホロロジーと関係するか？

主な発見

• 絶対的プリズマティックコホロロジーは、相対的プリズマティックサイトのハイパーコホロロジーとして定義され、滑らかでない、あるいは固有でない形式的スキームへクリスタルコホロロジーを一般化する。
• カルティエ＝ウィットスタック $\operatorname{WCart}$ は、プリズマティック・クリスタルを分類する幾何的枠組みを提供し、ホッジ＝トウコホロロジー除数はプリズマティック・フロベニウスの消滅に対応する。
• 絶対的プリズマティックコホロロジー上のニヤウドフィルトレーションは、$A_{\mathrm{crys}}(R)/pA_{\mathrm{crys}}(R)$ 上の共役フィルトレーションと整合し、その各層はホッジ＝トウコホロロジーに同型である。
• 絶対的プリズマティックコホロロジーとクリスタルコホロロジーの比較定理は、$q$-de Rhamプリズムを介して確立され、ニヤウドフィルトレーションの各層は $A_{\mathrm{crys}}(R)/pA_{\mathrm{crys}}(R)$ 上の共役フィルトレーションに同型である。
• 絶対的プリズマティックコホロロジーにおける第一チャーン類は、自然な比較準同型を通じてシントミックおよびエタール第一チャーン類へ写像され、ホッジ＝トウコホロロジーにおける像はプリズマティック・フロベニウスの対数微分として与えられる。
• 射影バンドルの公式およびブローモーの公式はシントミックコホロロジーで成り立ち、$\mathrm{H}^\bullet(\mathrm{BGL}_m)$ 内のチャーン類はプリズマティック・チャーン類写像を用いて計算され、古典的代数的K理論と整合することが確認される。