[論文レビュー] Absolute ruin in the Ornstein-Uhlenbeck type risk model

Ronnie Loeffen, Pierre Patie|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2010

Probability and Risk Models参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、定数金利およびサブディレーター型保険請求を有するOrnstein-Uhlenbeck型リスク過程の遷移密度についてスペクトル表現を確立し、有限時刻における絶対破産確率および第一通過時刻の正確な表現を可能にする。主たる貢献は、Lévy測度の正規変動条件の下で、プロセスの極限分布を用いた破産確率の級数展開である。

ABSTRACT

We start by showing that the finite-time absolute ruin probability in the classical risk model with constant interest force can be expressed in terms of the transition probability of a positive Ornstein-Uhlenbeck type process, say X. Our methodology applies to the case when the dynamics of the aggregate claims process is a subordinator. From this expression, we easily deduce necessary and sufficient conditions for the infinite-time absolute ruin to occur. We proceed by showing that, under some technical conditions, the transition density of X admits a spectral type representation involving merely the limiting distribution of the process. As a by-product, we obtain a series expansions for the finite-time absolute ruin probability. On the way, we also derive, for the aforementioned risk process, the Laplace transform of the first-exit time from an interval from above. Finally, we illustrate our results by detailing some examples.

研究の動機と目的

• 定数金利およびサブディレーター型請求を有するOrnstein-Uhlenbeck型リスクモデルにおける有限時刻における絶対破産確率の明示的表現を導出すること。
• 関連するOU型プロセスの遷移ダイナミクスを用いて、無限時刻における絶対破産の必要十分条件を確立すること。
• 極限分布のみを用いて、OU型プロセスの遷移密度のスペクトル型表現を構築すること。
• 区間からの第一出Exit時刻のラプラス変換を導出し、破産時刻の分析を支援すること。
• Lévy測度に正規変動仮定をおく下で、破産確率の明示的級数展開を導出すること。

提案手法

• 測度 $\mathbb{P}_x^{(r,c)}$ の下で、正のOrnstein-Uhlenbeck型プロセス $\hat{X}$ の遷移確率を用いて、有限時刻における絶対破産確率を表現する。
• $Z$ をサブディレーターとする確率微分方程式 $\mathrm{d}X_t = (rX_t + c)\mathrm{d}t - \mathrm{d}Z_t$ を用いて、金利および請求を有するリスク過程をモデル化する。
• フーリエ逆変換およびラプラス変換技法を適用し、絶対破産水準 $-c/r$ 以下の第一通過時刻の密度を導出する。
• 特性関数の分析とカラメータのTauberianおよびAbelian定理の適用により、$\hat{X}$ の遷移密度のスペクトル表現を確立する。
• $\nu$ が無限大において正規変動すること、すなわち $\nu(x,\infty) \sim x^{-\alpha}\ell(x)$ かつ $\alpha \in (0,1)$ を仮定し、特性関数の漸近的挙動を導出する。
• 特性関数の逆フーリエ変換を用いて破算確率の級数展開を導出し、$t > -\frac{1}{r\alpha}\log\cos(\frac{\pi\alpha}{2})$ の範囲で有効であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数金利およびサブディレーター型請求を有するOU型リスクモデルにおいて、有限時刻または無限時刻に絶対破産が発生する条件は何か？
• RQ2 関連するOU型プロセスの遷移密度は、その極限分布のみを用いてスペクトル的に表現可能か？
• RQ3 このリスクプロセスの区間からの第一出Exit時刻のラプラス変換は何か？
• RQ4 Lévy測度に正規変動仮定をおく下で、有限時刻における絶対破産確率はどのように収束級数として表現可能か？
• RQ5 Lévy測度が正規変動的尾部を示す場合、破算確率の漸近的挙動は何か？

主な発見

• 有限時刻における絶対破産確率は、双対OU型プロセスの遷移密度および指数的減衰項 $\mathrm{e}^{-rnt}$ を含む級数として表現される。
• 極限分布とフーリエ逆変換定理を用いて $\hat{X}$ の遷移密度のスペクトル表現が導出され、$t > -\frac{1}{r\alpha}\log\cos(\frac{\pi\alpha}{2})$ の範囲で有効である。
• プロセスの特性関数を用いて区間からの第一出Exit時刻のラプラス変換が導出され、破算時刻分布のさらなる分析が可能になる。
• Lévy測度が $\nu(x,\infty) \sim x^{-\alpha}\ell(x)$ かつ $\alpha \in (0,1)$ を満たす場合、特性関数 $\varphi_r(\mathrm{i}u)$ は漸近的に $u^\alpha \ell(u) \frac{\Gamma(1-\alpha)}{\alpha} \cos(\frac{\pi\alpha}{2})$ と振る舞う。
• 条件 $v^\alpha < \cos(\frac{\pi\alpha}{2})$ の下で、破算確率の級数展開は絶対収束し、フーリエ逆変換に必要な可積分性が保証される。
• OU型プロセスの極限分布が、スペクトル分解を用いて完全な遷移密度を再構成可能であることが示され、これはLévy過程理論において非自明な結果である。