[論文レビュー] Absolutely continuous and singular spectral shift functions

Nurulla Azamov|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2008

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 45被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、極限吸収原理とフレーム付きヒルベルト空間を用いて、抽象的散乱理論の構成的枠組みを構築し、実数直線上ほとんど everywhere で波動行列および散乱行列を明示的に定義することに成功した。主な貢献は、自己共役作用素のトレースクラス摂動と Birman-Krein の公式から導かれる、特異部のスペクトルシフト関数がほとんど everywhere で整数値をとることを示す新しい公式の発見である。

ABSTRACT

Given a self-adjoint operator H, a self-adjoint trace class operator V and a fixed Hilbert-Schmidt operator F with trivial kernel and co-kernel, using limiting absorption principle an explicit set of full Lebesgue measure is defined such that for all points of this set the wave and the scattering matrices can be defined and constructed unambiguously. Many well-known properties of the wave and scattering matrices and operators are proved, including the stationary formula for the scattering matrix. This new abstract scattering theory allows to prove that for any trace class perturbations of arbitrary self-adjoint operators the singular part of the spectral shift function is an almost everywhere integer-valued function.

研究の動機と目的

• 連続スペクトルを取り扱う従来の方法に起因する制限を克服する、抽象的散乱理論の構成的アプローチの開発。
• 極限吸収原理と核と余核が自明な固定されたヒルベルト＝シュミット作用素を用いて、波動行列および散乱行列をほとんど everywhere で明確に定義すること。
• 時系列指数を用いて散乱行列の新しい公式を確立すること。
• 特異部のスペクトルシフト関数が、これまでにない一般性においてほとんど everywhere で整数値をとることを証明すること。
• 散乱行列の定常公式および Kato-Rosenblum の定理に対する、新しい構成的証明を提供すること。

提案手法

• 極限吸収原理を用いて、Lebesgue測度 1 の部分集合 $\Lambda(H_0;F) \subset \mathbb{R}$ を定義し、波動行列および散乱行列がほとんど everywhere で存在することを保証する。
• フレーム付きヒルベルト空間構造を用いて、絶対連続スペクトル部分空間をファイバー Hilbert 空間の直積分として表現する。
• 波動行列 $w_{\pm}(\lambda;H_r,H_0)$ および散乱行列 $S(\lambda;H_r,H_0)$ を、作用素値正則関数およびスペクトル射影を用いて定義する。
• Birman-Krein の公式を適用して、スペクトルシフト関数を絶対連続部と特異部に分解する。
• 微小なスペクトルフローを $V E^{(a)}_{H_{0}+rV}(\lambda)$ のトレースを用いて導出し、$\xi^{(a)}(\lambda)$ の定義に至る。
• 時系列指数を用いて、散乱行列を $\mathrm{T}\!\exp\left(\frac{1}{i}\int_0^1 A(r)\,dr\right)$ として表現し、散乱過程の新しい動的解釈を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トレースクラス摂動を受ける自己共役作用素に対して、構成的枠組みを用いて波動行列および散乱行列をほとんど everywhere で明確に定義できるか。
• RQ2 トレースクラス摂動の下で、スペクトルシフト関数の特異部が、必然的にほとんど everywhere で整数値をとるか。
• RQ3 本稿の新しい枠組みにおいて、散乱行列の定常公式は成立するか。また、構成的に導出可能か。
• RQ4 摂動経路に沿ったトレース積分を用いて、スペクトルシフト関数を絶対連続部と特異部に分解可能か。
• RQ5 この設定において、Pushnitski の $\mu$-不変量と特異スペクトルシフト関数の関係は何か。

主な発見

• スペクトルシフト関数の特異部 $\xi^{(s)}(\lambda)$ が、一般の自己共役作用素とトレースクラス摂動の下でほとんど everywhere で整数値をとることを示した。これは、一般性において新規な結果である。
• 絶対連続部は $\xi^{(a)}(\lambda) = \frac{d}{d\lambda} \int_0^1 \operatorname{Tr}(V E^{(a)}_{H_{0}+rV}(\lambda))\,dr$ として定義され、新しい積分表現が得られた。
• 散乱行列は、$\mathbb{R}$ 上 almost everywhere で $\det S(\lambda;H_0+V,H_0) = e^{-2\pi i \xi^{(a)}(\lambda)}$ を満たし、行列式と絶対連続スペクトルシフト関数を結びつける。
• 波動行列は乗法的性質を満たし、極限吸収原理および作用素値正則関数を用いた構成的証明により、その存在が示された。
• 散乱行列の時系列指数表現が導出され、散乱過程の新しい動的解釈が得られた。
• 微小なスペクトルフローがトレースクラスであることが示され、スペクトルシフト関数の特異部が、共鳴点において整数のジャンプを示す局所定数関数であることが証明された。