[論文レビュー] Absolutely Continuous Invariant Measures of Piecewise Linear Lorenz Maps

Yi Ming Ding, Ai Hua Fan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、区間 [0,1] 上の区分的線形ローレンツ写像 $ f_{a,b,c} $ に対する絶対連続不変測度（acim）の存在および性質を完全に特徴づける。acim が存在するための必要十分条件は $ ac + b(1-c) \geq 1 $ であり、写像が有理数回転に共役でない限り、一意性と混合性が保証される。また、トランジティビティと再正規化理論を用いて、lebesgue 測度との同値性に関する明示的基準を提示する。

ABSTRACT

Consider piecewise linear Lorenz maps on $[0, 1]$ of the following form \[ f_{a,b,c}(x)= {ll} ax+1-ac & x \in [0, c) b(x-c) & x \in (c, 1].\] We prove that $f_{a,b,c}$ admits an absolutely continuous invariant probability measure (acim) $μ$ with respect to the Lebesgue measure if and only if $f_{a,b,c}(0) \le f_{a,b,c}(1)$, i.e. $ac+(1-c)b \ge 1$. The acim is unique and ergodic unless $f_{a,b,c}$ is conjugate to a rational rotation. The equivalence between the acim and the Lebesgue measure is also fully investigated via the renormalization theory.

研究の動機と目的

• 区分的線形ローレンツ写像 $ f_{a,b,c} $ が絶対連続不変確率測度（acim）を有するための厳密な条件を同定すること。
• 再正規化理論とトランジティビティ基準を用いて、acim がlebesgue 測度と同値である条件を調査すること。
• 対称写像やマコフ写像などの特別な場合において、acim の密度に関する明示的公式を提示すること。
• 条件 $ ac + b(1-c) = 1 $ の場合における力学的挙動を、有理数的回転数と無理数的回転数に分けて解明すること。
• 周期軌道構造と区間写像の性質に基づき、$ ac + b(1-c) > 1 $ の場合の簡単なトランジティビティ基準を確立すること。

提案手法

• 関数 $ h ∈ L^1([0,1]) $ に対する不変密度の解析とエルゴード平均 $ A_n(h) $ の研究のため、Perron-Frobenius 演算子 $ P_{a,b,c} $ を用いる。
• 問題を自己相似構造を持つ区間 $[f^\nu(c+), f^\nu(c-)]$ 上に還元するために再正規化理論を適用する。ここで $ \nu $ は周期点の最小周期を表す。
• 不連続点 $ c $ が $ f^\nu $ で写される像に基づくトランジティビティ基準を導出する。$ A = f^\nu(c+) $, $ B = f^\nu(c-) $, および $ M = \min\{ \frac{B-c}{c-A}, \frac{c-A}{B-c} \} $ を用いる。
• 写像 $ f_{a,b,c} $ がトランジティブ（したがって acim がlebesgue 測度と同値）であるための必要十分条件は、$ M < 1 $ のとき $ ab > 1 + M $、$ M = 1 $ のとき $ ab \geq 2 $ であることを示す。
• 密度の構成にあたって、$ g_{a,b,c}(x) = \frac{1}{\kappa} \sum_{i=0}^{\kappa-1} P_{a,b,c}^i g_*(x) $ という公式を用いる。ここで $ g_* $ は再正規化写像 $ f_{a_*,a_*,c_*} $ の密度を表す。
• 既知の $ \beta $-変換およびマコフ写像に関する結果を用い、特に $ f_{a,a,c} $ や $ f_{\beta,\alpha,1/\beta} $（$ \alpha = \frac{1}{\beta^{k-1}(\beta-1)} $）などの特別な場合において、密度の閉形式表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 区分的線形ローレンツ写像 $ f_{a,b,c} $ が絶対連続不変確率測度を有するのはどのような条件下か？
• RQ2 acim がlebesgue 測度と同値であるのはいつか？ また、複雑な位相的不変量に依存せずに、この同値性をどのように特徴づけられるか？
• RQ3 写像が回転に共役でない場合、特に $ ac + b(1-c) > 1 $ の場合に、acim の密度の構造はどのようになるか？
• RQ4 対称的またはマコフ型の区分的線形ローレンツ写像に対して、acim の密度を明示的に計算するにはどうすればよいか？
• RQ5 周期点の最小周期 $ \kappa $ は、トランジティビティおよび acim 構造を決定づける上で果たす役割は何か？

主な発見

• 写像 $ f_{a,b,c} $ に対して acim が存在するのは、$ ac + b(1-c) \geq 1 $ のときであり、$ ac + b(1-c) < 1 $ のときは存在しない。
• 条件 $ ac + b(1-c) = 1 $ で $ \log a / \log b $ が有理数のとき、写像は有限位数 $ n $ の周期的写像となり、任意の密度 $ g $ に対して $ A_n(g) $ が不変測度を与える。
• 条件 $ ac + b(1-c) = 1 $ で $ \log a / \log b $ が無理数のとき、acim は一意に存在し、その密度は $ (a/b)^{-4} $ から $ (a/b)^4 $ の間で有界である。
• 条件 $ ac + b(1-c) > 1 $ のとき、acim は一意的であり、その密度は有界 variation を持つ。
• acim がlebesgue 測度と同値であるための必要十分条件は、写像 $ f_{a,b,c} $ がトランジティブであることである。これは $ M < 1 $ のとき $ ab > 1 + M $、$ M = 1 $ のとき $ ab \geq 2 $ であることに等しい。ここで $ M = \min\{ \frac{B-c}{c-A}, \frac{c-A}{B-c} \} $ である。
• マコフ写像の場合、$ f_{\beta,\alpha,1/\beta} $（$ \alpha = \frac{1}{\beta^{k-1}(\beta-1)} $）に対して、acim の密度は $ g_{\beta,k}(x) = \frac{1}{\beta-1} \mathbf{1}_{[0,1]}(x) + \sum_{i=1}^k \beta^{i-1} \mathbf{1}_{[0,\beta^{-i}]}(x) $ と表され、定数倍を除いて成り立つ。