[論文レビュー] Absolutely indecomposable representations and Kac-Moody Lie algebras (with an appendix by Hiraku Nakajima)

William Crawley-Boevey, Michel Van den Bergh|ArXiv.org|Jun 1, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 29被引用数 54

ひとこと要約

本稿は、有限体上のクーヴィーの絶対的単純表現を数える多項式に関するKacの予想を、非可約次元ベクトルに対して証明する。予想Aでは、その多項式の係数がすべて正であること（正係数）、予想Bでは、定数項が関連するKac-Moodyリーヒューベルト代数における対応する根の重複度に一致することを示す。証明は、前射影代数の安定表現のモジュライ空間を通じたコhomological解釈を用い、ハーデル＝ナラシマン層をリーヒューベルト代数のPBW基底と関連付ける。

ABSTRACT

A conjecture of Kac states that the polynomial counting the number of absolutely indecomposable representations of a quiver over a finite field with given dimension vector has positive coefficients and furthermore that its constant term is equal to the multiplicity of the corresponding root in the associated Kac-Moody Lie algebra. In this paper we prove these conjectures for indivisible dimension vectors.

研究の動機と目的

• 有限体上のクーヴィーの絶対的単純表現を数える多項式に関するKacの長年の予想を解決すること。
• 前射影代数の安定表現のモジュライ空間を用いた、この多項式のコhomological解釈を確立すること。
• 非可約次元ベクトルに対して、この多項式の定数項が関連するKac-Moodyリーヒューベルト代数における対応する根の重複度に等しいことを証明すること。
• 前射影代数表現のハーデル＝ナラシマン層を、リーヒューベルト代数のPBW基底と関連付けること。
• 安定表現のモジュライ空間のコhomologyが、有限体上の表現多様体の点数を支配することを示すこと。

提案手法

• 一般の $\lambda$ に対して $\lambda \cdot \alpha = 0$ を満たす $\lambda$-安定な前射影代数 $\Pi^0$ の表現のモジュライ空間 $X_s$ を導入する。
• コhomological公式を確立する：$a_\alpha(q) = \sum_{i=0}^d \dim H^{2d-2i}(X_s, \mathbb{C}) \, q^i$、ここで $d = \frac{1}{2} \dim X_s$。
• 表現空間をモジュライ空間 $X_s$ に変形する1パラメータ族 $\Xi$ を導入し、大特異的特徴値において解析的かつコhomologicalに同値であることを示す。
• Lefschetz固定点定理とWeil予想を用いて、有限体上の点数をコhomology上のFrobenius作用の固有値と関連付ける。
• PBW定理とハーデル＝ナラシマン層を用いて、零ベキ部分多様体 $\Lambda_\alpha$ の既約成分の数を根の重複度に関連付ける。
• Nakajimaの議論を応用し、それを精緻化して、族 $\Xi$ が解析的に自明であることを示し、$X$ と $X_s$ のコhomologyがFrobeniusと両立する同型を持つことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体 $\mathbb{F}_q$ 上で絶対的単純表現を数える多項式 $a_\alpha(q)$ は、非可約 $\alpha$ に対して正の係数を持つか？
• RQ2 非可約 $\alpha$ に対して、定数項 $a_\alpha(0)$ はKac-Moodyリーヒューベルト代数 $\mathfrak{g}$ における根 $\alpha$ の重複度に等しいか？
• RQ3 $\lambda$-安定な $\Pi^0$-表現のモジュライ空間のコhomologyは、$a_\alpha(q)$ の計算に用いることができるか？
• RQ4 前射影代数表現におけるハーデル＝ナラシマン層は、$U(\mathfrak{g}^+)$ のPBW基底とどのように関係するか？
• RQ5 非可約 $\alpha$ に対して、零ベキ部分多様体 $\Lambda_\alpha$ 内の $\lambda$-安定な表現の数は $\dim \mathfrak{g}_\alpha$ に等しいか？

主な発見

• 非可約 $\alpha$ に対して予想Aが成立：多項式 $a_\alpha(q)$ は非負整数係数を持つ。
• 非可約 $\alpha$ に対して予想Bが成立：定数項 $a_\alpha(0)$ はKac-Moodyリーヒューベルト代数 $\mathfrak{g}$ における根 $\alpha$ の重複度に等しい。
• $a_\alpha(q)$ は、次元ベクトル $\alpha$ の $\lambda$-安定な $\Pi^0$-表現のモジュライ空間 $X_s$ のPoincaré多項式として与えられる。
• $\Lambda_\alpha$ の零ベキ部分多様体に $\lambda$-安定な表現を含む既約成分の数は $\dim \mathfrak{g}_\alpha$ に等しい。
• モジュライ空間 $X_s$ のコhomologyは、Frobenius作用を通じて、有限体上の表現多様体の点数を支配する。
• 族 $\Xi$ は解析的に自明であり、$X$ と $X_s$ が大特異的特徴値においてFrobeniusと両立する同型なコhomologyを持つことを保証する。