[論文レビュー] Absolutely split locally free sheaves on proper $k$-schemes and Brauer--Severi varieties

Saša Novaković|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、正確に分離された（AS）ベクトル束を、正確に分離された（AS）束の同型類と、Picardスキーム $\mathrm{Pic}_{X/k}$ の閉点との間の全単射対応を確立することによって、固有 $k$-スキーム上に分類する。この分類は一般化されたブラウアー–シーベル多様体に応用され、AS-型（分解不能束のランクの列）が双正則不変量であることを証明し、古典的な $\mathbb{P}^1$ やブラウアー–シーベル多様体に関する結果を一般化した、束がASであるためのコホモロジー的条件を導出する。

ABSTRACT

We classify absolutely split vector bundles on proper $k$-schemes. More precise, we prove that the closed points of the Picard scheme are in one-to-one correspondence with indecomposable absolutely split vector bundles. Furthermore, we apply the obtained results to study the geometry of (generalized) Brauer--Severi varieties.

研究の動機と目的

• 任意の固有 $k$-スキーム上の絶対的分裂（AS）ベクトル束を分類すること。これは、グロタンディークが $\mathbb{P}^1$ 上に与えた分類を一般化する。
• 実数体上および次元1のブラウアー–シーベル多様体上のAS束に関する先行研究を、有限Picard群をもつ任意の固有 $k$-スキームに拡張すること。
• ブラウアー–シーベル多様体のAS-型（分解不能AS束のランクの列）を定義し、それが双正則不変量であることを確立すること。
• 一般化されたブラウアー–シーベル多様体上のベクトル束がAS束であるためのコホモロジー的条件を導出すること。オッタヴィアーニの分裂基準を用いる。

提案手法

• 固有 $k$-スキーム $X$ に対して $H^0(X, \mathcal{O}_X) = k$ を満たすとき、$\mathrm{Pic}_{X/k}$ の閉点と、分解不能AS束の同型類との間の対応を確立する。
• クルール–シュミットの定理を用いて、任意のAS束を一意に分解不能AS束の直和に分解し、分類問題を分解不能の場合に帰着する。
• ブラウアー–シーベル多様体の周期を $p$ とするとき、$0 \leq j \leq p-1$ に対して、分解不能AS束 $\mathcal{M}_{\mathcal{L}^{\otimes j}}$ のランクの $p+1$-重組 $(d_0, \dots, d_p)$ をAS-型として定義する。
• グラスマン多様体上でオッタヴィアーニの分裂基準を適用し、$\mathrm{BS}(d,A)$ 上の束がAS束であるためのコホモロジー的条件を導出する。この際、標準的商束 $\mathcal{Q}^\vee$ におけるスループ関手の降下を用いる。
• 自己準同型代数 $\mathrm{End}(\mathcal{M}_{\mathcal{L}})$ の指数を用いて、$\mathrm{rk}(\mathcal{M}_{\mathcal{L}^{\otimes j}}) = \mathrm{ind}(\mathrm{End}(\mathcal{M}_{\mathcal{L}})^{\otimes j})$ により $\mathcal{M}_{\mathcal{L}^{\otimes j}}$ のランクを計算する。
• ブラウアー同値な代数の指数と周期を比較することで、AS-型が双正則同値に関して不変であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の固有 $k$-スキーム上の絶対的分裂ベクトル束は、Picardスキームの言いかつてどのように分類できるか？
• RQ2 代数閉包 $\bar{k}$ 上でPicard群が無限巡回群である固有 $k$-スキーム上の分解不能AS束の構造はいかなるものか？
• RQ3 一般化されたブラウアー–シーベル多様体のAS-型は、その幾何学的性質および双正則不変量とどのように関係するか？
• RQ4 一般化されたブラウアー–シーベル多様体上のベクトル束がAS束であるためのコホモロジー的条件は何か？
• RQ5 双正則同値な一般化されたブラウアー–シーベル多様体のAS-型は等しいか？

主な発見

• 固有 $k$-スキーム $X$ に対して $H^0(X, \mathcal{O}_X) = k$ を満たすとき、$\mathrm{Pic}_{X/k}$ の閉点と、分解不能AS束の同型類との間に全単射対応が存在する。
• 固有 $k$-スキーム $X$ に対して $\mathrm{Pic}(X \otimes_k \bar{k}) \simeq \mathbb{Z}$ が成り立つとき、すべての分解不能AS束は $\mathcal{J}^{\otimes a} \otimes \mathcal{M}_{\mathcal{L}^{\otimes j}}$ の形に書ける。ここで $a \in \mathbb{Z}$、$0 \leq j \leq r-1$ であり、$r$ は周期である。
• 分解不能AS束 $\mathcal{M}_{\mathcal{L}^{\otimes j}}$ のランクは $\mathrm{rk}(\mathcal{M}_{\mathcal{L}^{\otimes j}}) = \mathrm{ind}(\mathrm{End}(\mathcal{M}_{\mathcal{L}})^{\otimes j})$ で与えられる。
• ブラウアー–シーベル多様体のAS-型、すなわち $\mathcal{M}_{\mathcal{L}^{\otimes j}}$ のランクの $p+1$-重組 $(d_0, \dots, d_p)$ は双正則不変量である。
• $\mathrm{BS}(d,A)$ と $\mathrm{BS}(d,B)$ が双正則であるための必要十分条件は、両者が同じAS-型を持つことである。
• $\mathrm{BS}(d,A)$ 上のベクトル束 $\mathcal{E}$ がAS束であるための必要十分条件は、すべての $0 < r < \dim \mathrm{BS}(d,A)$、$t \in \mathbb{Z}$、およびすべての $0 \leq \lambda_i \leq n-d$、$s \leq d$ を満たす分割 $\lambda_1 \geq \cdots \geq \lambda_s$ に対して、$H^r(\mathrm{BS}(d,A), \mathcal{P}_{\lambda_1} \otimes \cdots \otimes \mathcal{P}_{\lambda_s} \otimes \mathcal{E}(t)) = 0$ が成り立つことである。