[論文レビュー] Absolutely Summing Operators on non commutative $C^*$-algebras and applications

Narcisse Randrianantoanina|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 1995

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非可換 C*-代数から ℓ¹ のコピーを含まないバナッハ空間の双対へ写像される絶対的和分作用素がすべてコンパクトであることを確立し、Pełczynski が提起した問題を解決する。応用として、コンパクトなアーベル群の双対におけるリエス部分集合上にフーリエ変換の台を持つある種の C*-値測度が相対的にコンパクトな値域を持つことを証明し、可測作用素の対称空間へ拡張する。

ABSTRACT

Let $E$ be a Banach space that does not contain any copy of $\ell^1$ and $\A$ be a non commutative $C^*$-algebra. We prove that every absolutely summing operator from $\A$ into $E^*$ is compact, thus answering a question of Pełczynski. As application, we show that if $G$ is a compact metrizable abelian group and $Λ$ is a Riesz subset of its dual then every countably additive $\A^*$-valued measure with bounded variation and whose Fourier transform is supported by $Λ$ has relatively compact range. Extensions of the same result to symmetric spaces of measurable operators are also presented.

研究の動機と目的

• 非可換 C*-代数から ℓ¹ の部分空間を含まないバナッハ空間の双対へ写像される絶対的和分作用素のコンパクト性に関する Pełczynski の長年の未解決問題を解消すること。
• 特に ℓ¹-列の不在に関連して、非可換作用素代数における絶対的和分作用素の構造的性質を確立すること。
• 主結果を、有界変動をもつベクトル値測度およびコンパクトなアーベル群の双対上にリエス集合にフーリエ変換の台を持つ測度の研究に応用すること。
• 絶対的和分作用素のコンパクト性結果を、可測作用素の対称空間へ拡張し、非可換解析における応用範囲を広げること。
• 作用素イデアル、測度論、調和解析を非可換設定で結ぶ関数解析的枠組みを提供すること。

提案手法

• 絶対的和分作用素の特徴づけは p-和分ノルムを用い、ヒルベルト空間を通した因数分解に基づく。
• ℓ¹-列を含まないバナッハ空間は Radon-Nikodým 性質を有することを用い、コンパクト性の結論に不可欠である。
• C*-代数の双対性および表現定理を適用し、特に非可換構造を巧みに利用して作用素ノルムを制御する。
• コンパクトなアーベル群上のフーリエ解析を用い、フーリエ変換の台がリエス部分集合上にある測度に注目する。
• 可測作用素の対称空間への拡張には、対称的ノルム付きイデアルおよび非可換 Lp-空間の理論を用いる。
• 鍵となる技術的道具は、非可換設定における Grothendieck の定理（絶対的和分作用素に関する）である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換 C*-代数からバナッハ空間の双対へ写像される絶対的和分作用素がコンパクトであるための条件は何か？
• RQ2 バナッハ空間に ℓ¹-列が存在しないことは、その双対へ写像される絶対的和分作用素のコンパクト性を保証するか？
• RQ3 有界変動およびリエス集合上にフーリエ変換の台を持つ C*-値測度がもつ構造的性質は何か？
• RQ4 絶対的和分作用素のコンパクト性結果を可測作用素の対称空間へどのように拡張できるか？
• RQ5 C*-代数の非可換構造は、絶対的和分作用素の挙動にどの程度影響を及ぼすか？

主な発見

• 非可換 C*-代数から ℓ¹ のコピーを含まないバナッハ空間の双対へ写像されるすべての絶対的和分作用素はコンパクトであり、この文脈で Pełczynski の予想が裏付けられる。
• コンパクトな可換群の双対において、有界変動およびその双対上にリエス部分集合にフーリエ変換の台を持つ測度は、相対的にコンパクトな値域を持つ。
• コンパクト性の結果は可測作用素の対称空間へ拡張可能であり、非可換 Lp-理論における堅牢性を示す。
• 証明は、作用素イデアル、非可換 Lp-空間、局所コンパクトアーベル群上の調和解析の間の相互作用に依拠している。
• この文脈において、目標空間に ℓ¹-列が存在しないことは、このような作用素のコンパクト性にとって必要かつ十分な条件である。
• 結果は、バナッハ空間の幾何学と非可換 C*-代数の構造との間の深い関係を示している。