[論文レビュー] Abstract configurations in algebraic geometry

Igor Dolgachev|ArXiv.org|Apr 18, 2003

graph theory and CDMA systems参考文献 31被引用数 35

ひとこと要約

本稿は、代数幾何学における対称的インシデント関係をもつ組合せ的構造としての抽象的配置—特に、代数的表面や有限射影平面における幾何的実現—を検討する。配置の例としてファンォ平面、クーマー、クレモナ＝リッチモンド配置が、特に関数の分解と曲線の配置を通じて、特徴2のK3表面など、代数的幾何学において自然に生じることを示している。明示的な構成により、有限体と群作用とが結びつけられている。

ABSTRACT

An abstract $(v_k,b_r)$-configuration is a pair of finite sets of cardinalities $v$ and $b$ with a relation on the product of the sets such that each element of the first set is related to the same number $k$ of elements from the second set and each element of the second set is related to the same number $r$ of elements in the first set. An example of an abstract configuration is a finite geometry. In this paper we discuss some examples of abstract configurations and, in particular finite geometries, which one encounters in algebraic geometry.

研究の動機と目的

• 抽象的配置—特に対称的かつ正則なものの—が代数幾何学にどのように現れるかを調査すること。
• 特にK3およびクーマー表面における抽象的配置の幾何的実現を研究すること。
• 有限体上の有限射影平面と、代数的表面上の曲線およびファイブレーションから生じる配置とを結びつけること。
• このような配置の自己同型群を解析し、PGL(3, F_q)などの古典的群との関係を明らかにすること。
• (-2)-曲線のインシデント配置とその交差性質を用いて、特徴2のK3表面を特徴づけること。

提案手法

• 抽象的配置を二部グラフとして表現するため、黒頂点を点、白頂点をブロックとするレヴィグラフを用いる。
• 特に、$X_q \subset \mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^2$ で定義される代数的表面 $x_0y_0^q + x_1y_1^q + x_2y_2^q = 0$ 及びその双対を用いて、配置の幾何的実現を構成する。
• フロベニウス自己準同型 $\mathbf{F}$ を用い、$X_q$ 上のインシデント条件を $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_{q^2})$ 上の線形条件に関連付ける。
• $X_q$ 上のファイバー $R_a$ と $Q_b$ の交わりを解析し、フロベニウス写像の下で配置が $\textup{PG}(2,\mathbb{F}_{q^2})$ に同型であることを示す。
• 付随公式を用いて曲線の自己交わり数を計算し、$R_a^2 = -q$ を示す。
• 群作用として $\textup{PGL}(3,\mathbb{F}_{q^2})$ とスイッチ自己同型を用い、配置の対称性を実現する。フロベニウスのべき乗を通じて非実現可能な対称性に対応するコセットを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファンォ平面やクーマー配置といった抽象的配置は、代数幾何学においてどのように自然に生じるか？
• RQ2 どのような代数的表面が、互いに交わらない有理曲線または(-2)-曲線の配置として有限射影平面を幾何的に実現できるか？
• RQ3 フロベニウス自己準同型は、表面におけるインシデント条件を、有限射影平面における線形条件に関連付けるか？
• RQ4 (-2)-曲線の配置とファイブレーションを用いて、特徴2のK3表面をどのように特徴づけられるか？
• RQ5 配置の自己同型群のうち、代数的表面上で幾何的に実現可能なものはどれか？また、完全な自己同型群の構造はいかなるものか？

主な発見

• 方程式 $x_0y_0^q + x_1y_1^q + x_2y_2^q = 0$ および $y_0x_0^q + y_1x_1^q + y_2x_2^q = 0$ で定義される表面 $X_q$ は、非特異的かつ最小の表面であり、$q(X_q) = 0$, $p_g(X_q) = \frac{1}{4}q^2(q-1)^2$, $K_{X_q}^2 = 2(q-2)^2(q^2+1)$ を満たす。
• $X_q$ 上の $q^4 + q^2 + 1$ 個の互いに交わらない有理曲線 $R_a$ と同数の曲線 $Q_b$ の配置は、フロベニウス写像 $\mathbf{F}^k$ の下で $\textup{PG}(2,\mathbb{F}_{q^2})$ を実現する。
• $q = 2$ の場合、表面 $X_2$ は、Picard格子が $U \perp D_{20}$ に同型であるK3表面であり、タイプ $\tilde{D}_{20}$ のジャコビアン準楕円ファイブレーションをもつ。
• K3表面 $X_2$ は、21個の互いに交わらない $(-2)$-曲線からなる2つの集合 $\mathcal{A}$ と $\mathcal{B}$ を含み、$\mathcal{A}$ の各曲線は $\mathcal{B}$ の曲線とちょうど5本、重複度1で交わる。
• $\textup{Aut}(X_2)$ は無限大であり、168個の対合から生成される正規部分群を持ち、商群は $\textup{PGL}(3,\mathbb{F}_4) \cdot 2$ に同型である。
• $9_3$ 型のセヴァ(3)配置は、非ゼロ座標を持つ9点の部分集合として $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_4)$ に実現され、その対称性群は $\textup{Aut}(X_2)$ の位数108の部分群として実現される。