[論文レビュー] Abstract integrals in algebra: coalgebras, Hopf algebras and compact groups

Miodrag C. Iovanov|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、コンpakト群やホップ代数における積分の存在および一意性の一般化を、任意の余代数へと、完全に（余）代数的枠組みを用いて行う。右C-余加群Mに対して一般化積分空間$\int_M = \mathrm{Hom}^C(C, M)$を導入し、余代数Cがコフロベニウスであることと、すべての有限次元余加群において積分の存在および一意性が成り立つことの同値性を証明する。これは、ホップ代数論における古典的結果を拡張し、無限次元代数の表現論に関する新たな知見を提供する。

ABSTRACT

We generalize the results on existence and uniqueness of integrals from compact groups and Hopf algebras in a pure (co)algebraic setting, and find a series of new results on (quasi)-co-Frobenius and semiperfect coalgebras. For a coalgebra $C$, we introduce the generalized space of integrals $\int_M=\Hom^C(C,M)$ associated to a right $C$-comodule $M$ and study connections between "uniqueness of integrals" $\dim(\int_M)\leq \dim(M)$ and "existence of integrals" $\dim(\int_M)\geq \dim(M)$ for all $M$ and representation theoretic properties of $C$: (quasi)-co-Frobenius, semiperfect. We show that a coalgebra is co-Frobenius if and only if existence and uniqueness of integrals holds for any finite dimensional $M$. We give the interpretation for $\int_M$ for the coalgebra of representative functions of a compact group - they will be "quantum"-invariant vector integrals. As applications, new proofs of well known characterizations of co-Frobenius coalgebras and Hopf algebras are obtained, as well as the uniqueness of integrals in Hopf algebras. We also give the consequences for the representation theory of infinite dimensional algebras. We give an extensive class of examples which show that the results of the paper are the best possible. These examples are then used to give all the previously unknown connections between the various important classes of coalgebras appearing in literature.

研究の動機と目的

• 任意の余代数に対して、コンパクト群やホップ代数における積分理論の古典的枠組みを一般化する。
• 任意の右C-余加群Mに対して、一般化積分空間$\int_M = \mathrm{Hom}^C(C, M)$を定義・研究し、左積分の概念を一般化する。
• すべての有限次元余加群において積分の同時存在および一意性が成り立つことによって、コフロベニウス余代数を特徴づける。
• この一般化された枠組みを用いて、既知のコフロベニウスおよび半完全余代数に関する結果の新たな証明を提供する。
• 代数的積分の概念と、コンパクト群上の量子不変ベクトル値積分を結びつけ、それらが代表関数の余代数構造から自然に生じることを示す。

提案手法

• 右C-余加群Mに対して、左積分空間$\int_{l,M} = \mathrm{Hom}_{C^*}(C^C, M^C)$を定義し、ホップ代数における積分をC^*-加群準同型として一般化する。
• 積分の存在を表す指標として$\dim(\int_{l,M}) \geq \dim(M)$、一意性を表す指標として$\dim(\int_{l,M}) \leq \dim(M)$を用いる。
• 余代数Cがコフロベニウスであることと、すべての有限次元右C-余加群Mに対して$\dim(\int_{l,M}) = \dim(M)$が成り立つことの同値性を確立し、この性質が積分の存在および一意性と関連することを示す。
• コンパクト群Gに対して、ハア測度を用いてC(G)上に明示的な量子不変積分を構成し、それらが表現$\eta: G \to \mathrm{GL}(V)$に対して$\mathrm{Hom}^{R_c(G)}(R_c(G), V)$の元に対応することを示す。
• ピーター・ウェイ氏の定理を適用し、C(G)上の連続積分が$R_c(G)$への制限によって決定されることを示し、これにより量子不変積分の一意性を証明する。
• 正規化された左ハア測度の存在を用いて、写像$H_\eta: V \to \mathrm{Int}_\eta$に左逆写像を構成し、$\dim(\mathrm{Int}_\eta) \geq \dim(V)$を示し、積分の存在を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 余代数Cが有限次元右C-余加群Mに対して、一般化積分空間$\int_M = \mathrm{Hom}^C(C, M)$が$\dim(\int_M) \geq \dim(M)$を満たすための条件は何か？
• RQ2 有限次元右C-余加群Mに対して$\dim(\int_M) \leq \dim(M)$が成り立つのはいつか？ これは積分の一意性を示唆する。
• RQ3 すべての有限次元余加群において積分の存在および一意性が成り立つような余代数Cの正確な代数的特徴づけは何か？
• RQ4 コンパクト群G上の量子不変ベクトル値積分は、代表関数の余代数$R_c(G)$における代数的積分とどのように関係するか？
• RQ5 ハア測度は、一般化された枠組みにおける明示的積分の構成において果たす役割は何か？ そして、それが存在を保証する仕組みは？

主な発見

• 余代数Cがコフロベニウスであることと、すべての有限次元右C-余加群Mに対して一般化積分空間$\int_M$が$\dim(\int_M) = \dim(M)$を満たすことの同値性が成り立つ。これは、積分の存在および一意性による完全な特徴づけを確立する。
• コンパクト群Gと表現$\eta: G \to \mathrm{GL}(V)$に対して、量子$\eta$-不変積分空間$\mathrm{Int}_\eta$は$\dim(\mathrm{Int}_\eta) \leq \dim(V)$を満たし、これによりその一意性が証明される。
• コンパクト群Gに正規化された左ハア測度が存在することにより、写像$H_\eta: V \to \mathrm{Int}_\eta$は線形埋め込みであり、左逆写像を持つことが示され、$\dim(\mathrm{Int}_\eta) \geq \dim(V)$が成り立つ。これにより$\dim(\mathrm{Int}_\eta) = \dim(V)$が得られる。
• 有限次元右C-余加群Mに対して、一般化積分空間$\int_M = \mathrm{Hom}^C(C, M)$は$\mathrm{Hom}_{C^*}(C^C, M^C)$と同型である。これは、ホップ代数構造が存在しない状況においても、積分の標準的代数的枠組みを提供する。
• コンパクト群Gの代表関数の余代数$R_c(G)$に対して、一般化積分$\int_M$は、Gの作用による表現$\eta$に関して不変なC(G)上の連続ベクトル値積分にちょうど一致する。これにより、関数解析と代数の間の接続が確立される。
• 本稿は、ホップ代数における積分の一意性を、非自明な積分が存在する条件下で、$\dim(\int_M) = 1$が自明な余加群$M = K$に対して成り立つことにより、新たな証明を提供する。