[論文レビュー] Abstract multiplicity theorems and applications to critical growth problems

Kanishka Perera|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2023

Nonlinear Partial Differential Equations被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$Η_2$-コhomologicalインデックスを用いて、臨界成長 $p$-ラプラシアンおよび $(p,q)$-ラプラシアン問題が、すべての十分に大きなパラメータ値 $\lambda > 0$ に対して任意に多くの非自明な解を有することを示す抽象的多重定理を確立する。主な貢献は、コhomologicalインデックスに基づく固有値の列から得られる、$m$ 組の異なる解を保証する $\lambda$ の明示的下界の導出であり、$\lambda \to \infty$ のとき解の数が無限大に発散することを示している。これらの結果は、半線形の場合 $p=2$ に対しても新規である。

ABSTRACT

We prove some abstract multiplicity theorems that can be used to obtain multiple nontrivial solutions of critical growth $p$-Laplacian and $(p,q)$-Laplacian type problems. We show that the problems considered here have arbitrarily many solutions for all sufficiently large values of a certain parameter $λ> 0$. In particular, the number of solutions goes to infinity as $λ o \infty$. Moreover, we give an explicit lower bound on $λ$ in order to have a given number of solutions. This lower bound is in terms of a sequence of eigenvalues constructed using the ${\mathbb Z}_2$-cohomological index. This is a consequence of the fact that our abstract multiplicity results make essential use of the piercing property of the cohomological index, which is not shared by the genus. Our result for the $p$-Laplacian is new even in the semilinear case $p = 2$.

研究の動機と目的

• 臨界成長 $p$-ラプラシアンおよび $(p,q)$-ラプラシアン問題が、十分に大きなパラメータ値 $\lambda > 0$ に対して複数の解を有するかどうかという長年の未解決問題に取り組む。
• 非自明な解を保証するための抽象的多重定理を、$\mathbb{Z}_2$-コhomologicalインデックスを活用して構築する。
• 与えられた数 $m$ の異なる解のペアを保証するための $\lambda$ の明示的下界を確立する。
• Brézis-Nirenberg問題およびGarcía Azorero-Peral問題の既存結果を拡張し、$\lambda \to \infty$ のとき解の数が無限大に発散することを証明する。
• コhomologicalインデックスのピアシング性を用いる新しい枠組みを提供し、これはジェネリックに基づく手法よりも強い。

提案手法

• コhomologicalインデックスに基づく抽象的多重定理（定理2.1, 2.4, 2.5）を導入し、ピアシング性により複数の臨界点の存在を保証する。
• コhomologicalインデックスに基づく固有値の列 $\lambda_m$ を定義し、$m$ と共に無限大に発散し、増加する性質を持つ。これは $\lambda$ の下界における主要なパラメータをなす。
• 抽象定理を、有界領域 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ における $p$-ラプラシアン問題 $-\Delta_p u = \lambda |u|^{r-2}u + |u|^{p^* - 2}u$ に適用する。ここで $1 < p < N$, $p < r < p^*$ である。
• SobolevおよびHölderの不等式を用いてエネルギー汎関数における非線形項を制御し、$c < \frac{1}{N} S^{N/p}$ のとき $(\text{PS})_c$ 条件が成り立つことを保証する。
• 解の数 $m$ の異なるペアを保証する $\lambda$ の明示的下界を、$\lambda_m$、体積 $|\Omega|$、最良Sobolev定数 $S$、および指数 $p, r, p^*$ の関数として導出する。
• 同様の枠組みを、$(p,q)$-ラプラシアン問題 $-\Delta_p u - \Delta_q u = \lambda |u|^{r-2}u + |u|^{p^* - 2}u$ に適用する。ここで $1 < q < p < N$, $p \leq r < p^*$ であり、類似の多重性結果を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コhomologicalインデックスに基づく抽象的多重定理を用いて、臨界成長 $p$-ラプラシアン問題に対して任意に多くの非自明な解が存在することを示せるか？
• RQ2 領域 $\Omega$ における臨界 $p$-ラプラシアン問題 $-\Delta_p u = \lambda |u|^{r-2}u + |u|^{p^* - 2}u$ の解の数は、$\lambda \to \infty$ のとき無限大に発散するか？
• RQ3 与えられた数 $m$ の異なる非自明な解のペアを保証する $\lambda$ の明示的下限は何か？
• RQ4 この抽象的枠組みは、臨界成長を有する $(p,q)$-ラプラシアン問題に拡張可能であり、同様の多重性挙動を示すか？
• RQ5 ピアシング性のおかげで、ジェネリックに基づく手法よりもコhomologicalインデックスアプローチが、多重性の保証において優れているか？

主な発見

• 臨界 $p$-ラプラシアン問題 $-\Delta_p u = \lambda |u|^{r-2}u + |u|^{p^* - 2}u$ に対して、領域 $\Omega$ における非自明な解の数は、$\lambda \to \infty$ のとき無限大に発散する。これは半線形の場合 $p=2$ に対しても成り立つ。
• 任意の $m \in \mathbb{N}$ に対して、$p$-ラプラシアン問題は、次の明示的下界を満たすすべての $\lambda$ に対して $m$ 組の異なる非自明な解のペアを有する： $\lambda > r|\Omega|^{r/p - 1} \sup_{\tau > 0} \left[ \frac{\lambda_m}{p\tau^{r-p}} - \frac{S^{N/p}}{N\tau^r} - \frac{1}{p^* |\Omega|^{p/(N-p)}} \tau^{p^* - r} \right]$。
• $(p,q)$-ラプラシアン問題 $-\Delta_p u - \Delta_q u = \lambda |u|^{r-2}u + |u|^{p^* - 2}u$ に対しても同様の多重性結果が成り立ち、$1 < q < p < N$, $p \leq r < p^*$ の下で、$\lambda$ が十分に大きいとき $m$ 組の異なる非自明な解のペアを保証する。
• $\lambda_m \to \infty$ であるため、$\lambda$ の下界は $m$ と共に増加し、$\lambda$ が増加するにつれて解の数が無限に発散することを確認する。
• コhomologicalインデックスに基づく固有値列 $\lambda_m$ は、証明において不可欠であり、そのピアシング性により複数の臨界点が構成可能である。これはジェネリックには共有されない特徴である。
• 抽象的多重定理は新規であり、特定の問題に限らず適用可能であり、トポロジカルインデックス理論を用いた臨界成長問題における複数解の存在を示す一般枠組みを提供する。