[論文レビュー] Abstract numeration systems on bounded languages and multiplication by a constant

Émilie Charlier, Michel Rigo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2007

semigroups and automata theory参考文献 9被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、3文字以上のアルファベットを用いた有界言語に基づく抽象的数進法系におけるS-認識可能性を調査する。乗算により任意の整数λ ≥ 2がS-認識可能性を保存しないことを証明しており、常にS-認識可能な集合Xが存在し、λXがS-認識可能でないことを示している。主な洞察は、有界言語における整数表現と二項係数に基づく組合せ的数進法との間の全単射に依拠している。

ABSTRACT

A set of integers is $S$-recognizable in an abstract numeration system $S$ if the language made up of the representations of its elements is accepted by a finite automaton. For abstract numeration systems built over bounded languages with at least three letters, we show that multiplication by an integer $λ\ge2$ does not preserve $S$-recognizability, meaning that there always exists a $S$-recognizable set $X$ such that $λX$ is not $S$-recognizable. The main tool is a bijection between the representation of an integer over a bounded language and its decomposition as a sum of binomial coefficients with certain properties, the so-called combinatorial numeration system.

研究の動機と目的

• 有界言語を用いた抽象的数進法系において、定数λ ≥ 2による乗算の下でのS-認識可能集合の閉包性質を調査すること。
• 認識可能集合の要素をλ倍する操作が、このような系において認識可能性を保存するかどうかを特定すること。
• 組合せ的数進法を用いて、有界言語における整数表現の乗算λによる構造的挙動を分析すること。
• 特に乗算に関する閉包性に関して、指数的言語と多項式的言語の根本的な違いを確立すること。
• 有界言語に3文字以上のアルファベットを用いる場合、S-認識可能性がλ ≥ 2での乗算によって保存されない一般的証明を提供すること。

提案手法

• 有界言語における表現と二項係数に基づく組合せ的数進法との間の全単射を利用する。
• 有界言語Bℓ = a₁*⋯aℓ* の語の系統的（短lex）順序を用いて、表現写像repℓ(n)を定義する。
• valℓをrepℓの逆写像として定義し、語をその整数インデックスにマッピングする。
• 整数の表現にλ = βℓを乗算した影響を、二項係数の合同関係に基づく剰余類Rᵢ,ₖに整数の集合を分割することで分析する。
• モジュラー算術と二項係数の性質を適用し、βℓによる乗算後の桁の分布における周期性を示す。
• 自動機的推論を用いて、ℓ ≥ 3のとき、λによる乗算の下で正則言語の像が正則のまま保てないことを主張する。これは、特定の位置での桁数の無限増加に起因する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界言語に3文字以上のアルファベットを用いた抽象的数進法系において、定数λ ≥ 2による乗算がS-認識可能性を保存するか？
• RQ2 有界言語における整数表現のどの構造的性質が、S-認識可能集合Xのλ倍であるλXがS-認識可能でなくなるのを防いでいるか？
• RQ3 二項係数に基づく組合せ的数進法と、有界言語における整数表現との関係は何か？
• RQ4 アルファベット長ℓが、λによる乗算の下での認識可能性の保存に与える役割は何か？
• RQ5 二項係数の合同関係を用いて、λによる乗算後の桁分布における周期性または非周期性を特徴づけられるか？

主な発見

• 任意の3文字以上のアルファベットを用いた有界言語に基づく抽象的数進法系Sに対して、λ ≥ 2による乗算はS-認識可能性を保存しない。
• S-認識可能集合Xが存在し、λXがS-認識可能でないことが保証されるため、S-認識可能性はλ ≥ 2による乗算に関して閉じていない。
• 証明は、有界言語における整数表現と、特定の制約を満たす二項係数の和への分解との間の全単射に依拠している。
• βℓによる乗算は、十分大きなインデックスに対して、表現の桁数の周期的挙動を引き起こすが、この周期性は言語の正則性を保たない。
• 補題7の条件を満たすβに対して、βℓmᵢ,ₖの表現におけるbとcの数は、長さβ^{ℓ−1}の区間内で一定であるが、aの数はβℓずつ増加する。
• λ = βℓかつℓ ≥ 3のとき、λXの表現言語は正則でない。これは、先頭のaの数が無限に増加し、接尾辞における不規則な桁遷移が生じるためである。