[論文レビュー] Abstract Vergleichsstellensätze for preordered semifields and semirings I

T. A. Fritz|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2020

Fuzzy Logic and Control Systems被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、順序付き半体および半体環のための2つの抽象的 Vergleichsstellensätze を確立し、半体における順序が、すべての全順序拡張の共通部分であることを証明するとともに、tropical reals への準同型を用いて、Strassen や Krivine–Kadison–Dubois の Positivstellensätze の非アーベル的一般化を導出する。これらの結果は、体や環を越えて、実代数における基礎的な分離定理を統合・拡張する。

ABSTRACT

Real algebra is usually thought of as the study of certain kinds of preorders on fields and rings. Among its core themes are the separation theorems known as Positivstellensätze. However, there is a nascent subfield of real algebra which studies preordered semirings and semifields, which is motivated by applications to probability, graph theory and theoretical computer science, among others. Here, we contribute to this subfield by developing a number of foundational results for it, with two abstract Vergleichsstellensätze being our main theorems. Our first Vergleichsstellensatz states that every semifield preorder is the intersection of its total extensions. We apply this to derive our second main result, a Vergleichsstellensatz for certain non-Archimedean preordered semirings in which the homomorphisms to the tropical reals play an important role. We show how this result recovers the existing Vergleichsstellensatz of Strassen and (through the latter) the classical Positivstellensatz of Krivine--Kadison--Dubois.

研究の動機と目的

• 順序付き半体および半体環の文脈における実代数の基礎的ツールを構築すること。これらは加法的逆元を欠き、確率論、グラフ理論、計算複雑性理論の応用において中心的役割を果たす。
• 古典的分離定理（Positivstellensätze）を、正の錐が順序を特徴付けられない非アーベル的・非体的設定へ一般化すること。
• 順序付き半体に対して、順序がすべての全順序半体順序の拡張の共通部分に等しいことを示す Vergleichsstellensatz を確立すること。
• tropical reals への準同型を用いて、順序付き半体環に対して非アーベル的 Vergleichsstellensatz を導出することにより、既知の結果を特別な場合として回復すること。

提案手法

• 新しい多項式恒等式（補題 5.1）を用いて、任意の順序付き半体順序が、その全拡張の共通部分であることを証明し、古典的体の結果を一般化する。
• 順序の消去可能性と準補元を用いて、問題を Strassen の Vergleichsstellensatz が適用可能な状況に還元する。
• 部分半体環における幾何級数を用いたテレスコピック（縮合的）議論により、すべての $ \varepsilon > 0 $ に対して $ x \leq y + \varepsilon $ が成り立つことを示し、厳密不等式条件のもとで $ x \leq y $ を得る。
• 乗法的にアーベル的である全順序半体順序付き半体を、$ \mathbb{R}_+ $、$ \mathbb{R}_+^{\mathrm{op}} $、$ \mathbb{TR}_+ $、または $ \mathbb{TR}_+^{\mathrm{op}} $ への順序埋め込みとして特徴付ける。
• 主定理を応用して、アーベル的状況における Strassen の結果への還元により、Krivine–Kadison–Dubois の Positivstellensatz を回復する。
• tropical spectrum $ \mathsf{TSper}(S) $ のコンパクト性を用いて、$ \phi(x) \leq \phi(y) $ から $ \phi(x + \varepsilon) < \phi(y) $ への不等式の強化を行い、順序の消去を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分離定理（Vergleichsstellensätze）は、順序付き環や体から、順序付き半体および半体環へどのように一般化できるか？
• RQ2 加法的逆元を欠く半体における順序を特徴付けるために、全拡張は果たすどのような役割を果たすか？
• RQ3 tropical reals を終域として用いることで、Strassen の Vergleichsstellensatz を非アーベル的順序付き半体環へ拡張できるか？
• RQ4 半体において正の錐が存在しないことにより、古典的 Positivstellensätze とは異なる形の分離定理が必要となるのはどの程度か？
• RQ5 Krivine–Kadison–Dubois の Positivstellensatz は、半体環設定におけるより一般的な Vergleichsstellensatz からどの程度まで導出可能か？

主な発見

• 任意の順序付き半体における順序は、それらを拡張するすべての全順序半体順序の共通部分に等しく、基本的な構造的結果を確立する。
• すべての乗法的にアーベル的である全順序半体順序付き半体は、$ \mathbb{R}_+ $、$ \mathbb{R}_+^{\mathrm{op}} $、$ \mathbb{TR}_+ $、または $ \mathbb{TR}_+^{\mathrm{op}} $ のいずれかへの順序埋め込みとして特徴付けられる。これは、古典的な $ \mathbb{R} $ へのアーベル的埋め込みを一般化する。
• tropical reals への準同型を用いて、順序付き半体環に対して非アーベル的 Vergleichsstellensatz を確立し、Strassen の結果を特別な場合として回復する。
• Krivine–Kadison–Dubois の Positivstellensatz は、主定理の推論として得られ、古典的結果が抽象的枠組みの特別な場合であることを示す。
• 証明技法は、新しい多項式恒等式（補題 5.1）と、準補元的・順序消去可能な部分半体環における幾何級数のテレスコピック議論に依拠する。
• tropical spectrum $ \mathsf{TSper}(S) $ の空間が、厳密不等式を導出し、順序の消去を可能にし、すべての $ \phi $ に対して $ \phi(x) < \phi(y) $ が成り立つことから $ x \leq y $ を証明することを可能にする。