[論文レビュー] Abstract Voronoi-Like Graphs: Extending Delaunay’s Theorem and Applications

Evanthia Papadopoulou|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Computational Geometry and Mesh Generation被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、抽象二等分線系上におけるボロノイに類似したグラフを導入し、適切な条件下では、このようなグラフが抽象ボロノイ図に等価であることを証明している。これはデラウンイの定理に対する抽象的双対を提供する。本稿では、葉の巡回順序からボロノイに類似した木および森を計算する、線形期待時間の確率的アルゴリズムを提示しており、制約デラウンイ三角形分割に対する効率的な動的更新を可能としている。

ABSTRACT

Any system of bisectors (in the sense of abstract Voronoi diagrams) defines an arrangement of simple curves in the plane. We define Voronoi-like graphs on such an arrangement, which are graphs whose vertices are locally Voronoi. A vertex $v$ is called locally Voronoi, if $v$ and its incident edges appear in the Voronoi diagram of three sites. In a so-called admissible bisector system, where Voronoi regions are connected and cover the plane, we prove that any Voronoi-like graph is indeed an abstract Voronoi diagram. The result can be seen as an abstract dual version of Delaunay's theorem on (locally) empty circles. Further, we define Voronoi-like cycles in an admissible bisector system, and show that the Voronoi-like graph induced by such a cycle $C$ is a unique tree (or a forest, if $C$ is unbounded). In the special case where $C$ is the boundary of an abstract Voronoi region, the induced Voronoi-like graph can be computed in expected linear time following the technique of [Junginger and Papadopoulou SOCG'18]. Otherwise, within the same time, the algorithm constructs the Voronoi-like graph of a cycle $C'$ on the same set (or subset) of sites, which may equal $C$ or be enclosed by $C$. Overall, the technique computes abstract Voronoi (or Voronoi-like) trees and forests in linear expected time, given the order of their leaves along a Voronoi-like cycle. We show a direct application in updating a constraint Delaunay triangulation in linear expected time, after the insertion of a new segment constraint, simplifying upon the result of [Shewchuk and Brown CGTA 2015].

研究の動機と目的

• 点でないサイト（線分、円板、多角形など）に対して、デラウンイの局所的から大域的への原理を抽象ボロノイ図に拡張すること。
• ボロノイに類似したグラフを定義・特徴づけ、抽象二等分線配置における局所的ボロノイ性質を捉える構造として位置づけること。
• 葉の巡回順序からボロノイに類似した木および森を線形期待時間で計算するアルゴリズムを開発すること。
• 本フレームワークを用いて、線分の挿入後に制約デラウンイ三角形分割を効率的に更新すること。

提案手法

• 局所的ボロノイ頂点（3つの定義サイトのボロノイ図に現れる頂点）を用いたボロノイに類似したグラフの定義。
• 適切な二等分線系において、任意のボロノイに類似したグラフが抽象ボロノイ図であることを証明し、デラウンイの定理を抽象的状況に一般化すること。
• すべての内部頂点が次数2の局所的ボロノイである単純なサイクル（サイトサイクル）としてボロノイに類似したサイクルを導入すること。
• 弧をランダムな順序で挿入するインクリメンタル構成法を用い、期待時間計算量を制限するために後向き解析を適用すること。
• 挿入中に生成された補助弧を削除するためにチェウのアルゴリズムを適用し、順序に依存しない性質を保ち、各ステップあたり期待O(1)の amortized 時間を達成すること。
• サイクルに沿った葉の順序を活用して、サイクルが完全なボロノイ領域でない場合でも、ボロノイに類似したグラフを線形期待時間で再構築できること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 抽象二等分線系上におけるボロノイに類似したグラフが、完全な抽象ボロノイ図に対応する条件は何か？
• RQ2 デラウンイの局所的から大域的への原理は、点でないサイトのための抽象ボロノイ図へ一般化可能か？
• RQ3 葉の巡回順序からボロノイに類似した木および森を線形期待時間で計算可能か？
• RQ4 補助面の生成を伴うにもかかわらず、ボロノイに類似したグラフのインクリメンタル構成をどのようにして強固かつ効率的に実現できるか？

主な発見

• 適切な二等分線系において、任意のボロノイに類似したグラフは抽象ボロノイ図である。これはデラウンイの定理に対する抽象的双対を確立する。
• 葉の巡回順序が与えられた場合、ボロノイに類似した木および森は期待線形時間で計算可能である。
• 補助弧がチェウのアルゴリズムで削除される場合、各挿入ステップの期待時間計算量はO(1)である。これは後向き解析と各頂点あたりの有界な負荷割り当てによる。
• 本手法により、線分の挿入後の制約デラウンイ三角形分割に対する効率的な動的更新が可能となり、従来の結果を単純化する。
• インクリメンタル構成の過程で、ボロノイに類似したグラフの頂点は高々2回しか負荷を割り当てられないため、合計コストが線形であることが保証される。
• サイクルが完全なボロノイ領域でない場合でも、本フレームワークは有効である。これは、元のサイクルに含まれるか等しい関連サイクルC′を計算することで達成される。