[論文レビュー] Abundance of non-uniformly hyperbolic Hénon like endomorphisms

Pierre Berger|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、強正則な二次写像と放物的積に基づく組み合わせ的パズル枠組みを導入することで、非一様的双曲的ヘノン型自己写像の豊富さを確立する。$ C^2 $-滑らかなヘノン型写像の混沌の境界付近において、非一様的双曲性を示すパラメータの集合が、深さと共通ピeces条項を含む洗練された強正則性の概念を用いて、開かつ稠密であることを証明する。

ABSTRACT

For every $C^2$-small function $B$, we prove that the map $(x,y)\mapsto (x^2+a,0)+B(x,y,a)$ leaves invariant a physical, SRB probability measure, for a set of parameters $a$ of positive Lebesgue measure. When the perturbation $B$ is zero, this is the Jakobson Theorem; when the perturbation is a small constant times $(0,x)$, this is the celebrated Benedicks-Carleson Theorem. In particular, a new proof of the last theorem is given, based on devellopment of the combinatorial formalism of the Yoccoz puzzles. By adding new geometrical and combinatorial ingredients, and restructuring classic analytical ideas, we are able to carry out our proof in the $C^2$-topology, even when the underlying dynamics are given by endomorphisms.

研究の動機と目的

• 混沌の境界付近におけるヘノン型自己写像における非一様的双曲性の広範性を確立すること。
• 深さと共通ピeces条項を導入することで、二次写像における強正則性の概念を洗練させること。
• 動的平面における臨界点の近傍での前像の幾何をモデル化する放物的積を定義すること。
• 0-強正則写像が制御された幾何とリターン時間構造を持つ頑健なクラスを形成すること。
• 非一様的双曲性をもたらすパラメータの集合が、適切な $ C^2 $-位相において開かつ稠密であることを示すこと。

提案手法

• ヘノン型写像における臨界セグメントの前像をモデル化するため、$ \boxdot $-積を用いた組み合わせ的パズル構造を導入する。
• 素因数分解における特定の記号的パターンの除外によって「共通パズルピeces」を定義し、反復においても頑健性を保証する。
• 強正則性における深さ条件を課し、0の最初のリターンにおけるパズルピecesのネストの一意性を保証する。
• 放物的積 $ \boxdot_{\text{sign}}(I \backslash I') $ を用いて、高次の反復において $ I_{\text{e}} \setminus I'' $ に写像するセグメントを定義する。
• $ C^2 $-ノルムと摂動 $ B $ の行列式の上限を用いて、2次元写像全体における双曲性を制御する。
• $ M \to \infty $ かつ $ b \to 0 $ のとき、$ \theta = 1/|\log b| \leq 2^{-2^M} $ が成り立つことを示し、摂動がリターン時間に対して十分に小さいことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様的双曲性は、ヘノン型自己写像の $ C^2 $-開かつ稠密な集合において豊富に存在するだろうか？
• RQ2 強正則性はどのように洗練され、病理的な前像構造を除外し、頑健性を保証できるか？
• RQ3 どのような組み合わせ的条件が、0の最初のリターンが境界および $ \alpha_0 $ の前像を避けるかを保証するか？
• RQ4 放物的積 $ \boxdot_{\pm} $ は、動的平面における臨界点近傍の前像の幾何をどのようにモデル化するか？
• RQ5 深さ条件は、パズルピecesのネストの一意性と構造的安定性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• ヘノン型自己写像の混沌の境界付近における $ C^2 $-近傍において、0-強正則写像の集合は開かつ稠密である。
• 最初のリターン $ P^{M+1}(0) $ は、すべての $ k $ に対して深さ $ k $ のパズルピecesの内部に位置し、境界および $ \alpha_0 $ の前像を避ける。
• セグメント $ I_{\boxdot} $ の長さは $ M \to \infty $ のとき $ O(2^{-M}) $ に漸近する。これは臨界領域の縮小を反映している。
• 放物的積 $ \boxdot_{\pm}(I \setminus I') $ は、セグメント $ I_{\mathfrak{p}} $ を定義し、$ P^{n_{\mathfrak{p}}} $ によって $ I_{\mathfrak{e}} \setminus I'' $ の成分へ写像する。ここで $ n_{\mathfrak{p}} = n_{\boxdot} + n $ である。
• $ [-3,3]^2 $ 上での $ D^2f $ の $ C^2 $-ノルムは $ 2 + b $ で有界であり、$ \|Df|[-\beta,\beta] \times [-3,3]\| < 4 $ が成り立つ。これにより、拡張が制御可能になる。
• $ \theta := 1/|\log b| \leq 2^{-2^M} $ の条件により、摂動 $ B $ がリターン時間 $ M $ に対して十分に小さくなることが保証され、双曲性が成立する。