[論文レビュー] Abundance of one dimensional non uniformly hyperbolic attractors for surface endomorphisms

Pierre Berger|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、$C^2$-小な摂動に対する表面自己準同型写像の広いクラスに対して物理的でSRB測度の存在を確立し、ヤコブソンの定理およびベニデイクス＝カールソンの定理を一般化する。Yoccozパズルに基づく洗練された組合せ的形式主義を発展させるとともに、新しい幾何学的・解析的技法を統合することで、著者らは、非一様双曲的設定ですら、正のLebesgue測度をもつパラメータの集合に対して、このような測度の存在を証明する。

ABSTRACT

For every $C^2$-small function $B$, we prove that the map $(x,y)\mapsto (x^2+a,0)+B(x,y,a)$ leaves invariant a physical, SRB probability measure, for a set of parameters $a$ of positive Lebesgue measure. When the perturbation $B$ is zero, this is the Jakobson Theorem; when the perturbation is a small constant times $(0,x)$, this is the celebrated Benedicks-Carleson Theorem. In particular, a new proof of the last theorem is given, based on devellopment of the combinatorial formalism of the Yoccoz puzzles. By adding new geometrical and combinatorial ingredients, and restructuring classic analytical ideas, we are able to carry out our proof in the $C^2$-topology, even when the underlying dynamics are given by endomorphisms.

研究の動機と目的

• 表面自己準同型写像の$C^2$-滑らかな摂動に対する、古典的ヤコブソンおよびベニデイクス＝カールソンの定理のより広いクラスへの拡張。
• 非一様双曲的系における正のLebesgue測度のパラメータ集合に対して、物理的でSRB確率測度の存在を確立すること。
• 自己準同型写像のパラメータ空間を分析するYoccozパズルに基づく強固な組合せ的フレームワークの構築。
• 非可逆的力学における$C^2$位相的枠組み内で、古典的手法を統合的かつ再構築すること。
• 幾何学的および組合せ的革新を用いて、ベニデイクス＝カールソンの定理の新たな証明を提供すること。

提案手法

• 著者らは、パラメータ空間および力学の組合せ的構造を分析するために、Yoccozパズル形式主義の洗練された版を用いる。
• 自己準同型写像に内在する非可逆性および非一様双曲性に対処するため、新しい幾何的要素を導入する。
• 証明は完全に$C^2$位相で行われており、従来の手法よりも強い正則性仮定を許容する。
• パラメータ空間の新しい分解が用いられ、系がSRB測度を有する正の測度の集合を特定する。
• 古典的手法と現代の組合せ的ツールを組み合わせ、極限集合の幾何を制御する。
• 反復的な組合せ的制御を通じて、微分係数の成長および前像の幾何を制御することに依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表面自己準同型写像の$C^2$-小な摂動は、正のLebesgue測度のパラメータ集合に対して物理的でSRB測度を有するか？
• RQ2 $C^2$設定において、Yoccozパズルに基づく形式主義を用いてベニデイクス＝カールソンの定理を再証明できるか？
• RQ3 非一様双曲的アトラクタの組合せ的および幾何的構造は、$C^2$-摂動下でどのように制御できるか？
• RQ4 古典的結果を非可逆的自己準同型写像に拡張するために、どのような新しい解析的および組合せ的ツールが必要か？
• RQ5 Yoccozパズルフレームワークは、非可逆系における非一様双曲性を扱うために、どの程度適応可能か？

主な発見

• 任意の$C^2$-小関数$B$に対して、写像$(x,y) \mapsto (x^2 + a, 0) + B(x,y,a)$は、正のLebesgue測度をもつパラメータ$a$の集合に対して物理的でSRB確率測度を有する。
• 証明は、Yoccozパズルに基づく組合せ的形式主義を用いて、ベニデイクス＝カールソンの定理の新たな導出を提供する。
• 著者らは、$C^2$位相において、表面自己準同型写像の非一様双曲的アトラクタにSRB測度が存在することを確立する。
• 本手法は、新しい幾何的および組合せ的制御を通じて、非可逆性および非一様双曲性の課題を効果的に処理する。
• 開発されたフレームワークにより、非一様双曲性を有する$C^2$-滑らかな自己準同型写像のパラメータ空間の体系的解析が可能になる。
• 結果は、力学が一様双曲的でない場合であっても、SRB測度が$C^2$-摂動下で保存されることを示している。