[論文レビュー] Abundance theorem for semi log canonical surfaces in positive characteristic

Hiromu Tanaka|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、正の特性における半対数正則（slc）表面に対して、豊富性定理を確立する。$K_X + \Delta$ がネフであるならば、それが半正であることを証明する。証明は特徴がゼロのときの Fujino の戦略を適応し、正の特性で成立する弱い消失定理と、表面の最小モデル理論を活用するが、特に特徴が2のときの純無理的拡大とノードのような非正規特異点といった複雑さに対処する。

ABSTRACT

We prove the abundance theorem for semi log canonical surfaces in positive characteristic.

研究の動機と目的

• 正の特性における対数正則から半対数正則表面への豊富性定理の拡張。
• Kodairaの消失定理が成立しないことや、純無理的体拡大が生じる正の特性における課題に対処すること。
• Fujino の特徴がゼロのときの戦略を適応することで、特徴がゼロの結果を正の特性へ一般化すること。
• 代数閉体上、正の特性をもつ slc 表面におけるネフな対数正則除数 $K_X + \Delta$ の半正則性を確立すること。

提案手法

• Fujino の豊富性定理の戦略を適応し、証明を二つの部分に分割する：対数正則表面の豊富性と、曲線における多様な正則表現の有限性。
• 正の特性における表面の最小モデル理論を用い、Tanaka (T1) と Fujita の結果に依拠する。
• Kawamata–Viehweg の消失定理が正の特性で成立しないことから、弱い消失定理（例：T2 からのもの）を用いて置換する。
• 特徴が2のときのノード特異点の正規化を分析し、ホワイトニーの傘が横断的交差でないことを検討する。
• 吹き上げと収縮を用いて dlt モデルを構成し、特異点を解消しながら dlt 性を保つ。
• 付随と対数解消の技術を用いて、$K_X + \Delta$ を $\llcorner\Delta\lrcorner$ の成分への制限を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特性における半対数正則表面に対して、豊富性定理は成立するか？
• RQ2 特徴が2のときの純無理的体拡大は、豊富性定理の標準的証明にどのような影響を与えるか？
• RQ3 Kodaira の消失定理が失敗する正の特性において、特徴がゼロのときの Fujino の戦略を適応可能か？
• RQ4 特に特徴が2のとき、ノード特異点の正規化の性質は何か？
• RQ5 $\llcorner\Delta\lrcorner$ の構造は、$K_X + \Delta$ の付随と半正則性にどのように影響するか？

主な発見

• 代数閉体上、正の特性をもつ射影的 slc 表面に対して、豊富性定理が成立する：$K_X + \Delta$ がネフならば、半正則である。
• slc 表面の正規化は対数正則表面であり、特徴が2のときのノード特異点の正規化は、吹き上げと付随を用いて分析される。
• dlt 表面では境界 $\llcorner\Delta\lrcorner$ は横断的交差であり、$S = \llcorner\Delta\lrcorner$ とおくと、$(S, \Delta_S)$ は sdlt である。
• 制限 $(K_X + \Delta)|_S$ は $K_S + \Delta_S \equiv 0$ かつ $0 \leq \Delta_S \leq 1$ を満たし、境界上で対数正則な振る舞いを保証する。
• dlt モデル $X''$ が存在し、$\llcorner\Delta''\lrcorner$ の成分同士はただ一点でのみ交わる（横断的交差）、かつ正規化写像が保たれる。
• 証明は、曲線における多様な正則表現の有限性と、正の特性における対数正則表面の既知の豊富性に依拠する。