[論文レビュー] Accelerating Iterative SpMV for Discrete Logarithm Problem Using GPUs

Hamza Jeljeli|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2012

Cryptography and Data Security参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本論文は、大規模な有限体における離散対数問題（DLP）に由来する大規模なスパース線形方程式系を解くために、RNS算術とGPU固有の最適化（テクスチャキャッシュ、係数再順序付け、データ圧縮）を用いたCSR-Vフォーマットで最適化されたGPUアクセラレートSpMVカーネルを提案している。実装により、CPU AVX2比で5.5倍の高速化を達成し、GF(2^619)およびGF(2^809)におけるDLPの解法を可能にした。

ABSTRACT

In the context of cryptanalysis, computing discrete logarithms in large cyclic groups using index-calculus-based methods, such as the number field sieve or the function field sieve, requires solving large sparse systems of linear equations modulo the group order. Most of the fast algorithms used to solve such systems --- e.g., the conjugate gradient or the Lanczos and Wiedemann algorithms --- iterate a product of the corresponding sparse matrix with a vector (SpMV). This central operation can be accelerated on GPUs using specific computing models and addressing patterns, which increase the arithmetic intensity while reducing irregular memory accesses. In this work, we investigate the implementation of SpMV kernels on NVIDIA GPUs, for several representations of the sparse matrix in memory. We explore the use of Residue Number System (RNS) arithmetic to accelerate modular operations. We target linear systems arising when attacking the discrete logarithm problem on groups of size 100 to 1000 bits, which includes the relevant range for current cryptanalytic computations. The proposed SpMV implementation contributed to solving the discrete logarithm problem in GF($2^{619}$) and GF($2^{809}$) using the FFS algorithm.

研究の動機と目的

• 有限体における離散対数問題（DLP）の解法において生じる大規模なスパース線形方程式系を解くための反復的スパース行列-ベクトル（SpMV）乗算ステップを高速化すること。
• 関数体ふるい法（FFS）を含むインデックス計算アルゴリズムにおける性能ボトルネックを解消すること。SpMVが計算時間の大部分を占める。
• NVIDIA GPU向けに、データ構造と算術を最適化することで、GPUのメモリ階層と並列性を最大限に活用すること。
• 線形代数フェーズの高速化により、100〜1000ビットの大きな有限体（特にGF(2^619)およびGF(2^809)）におけるDLPの実用的解法を可能にすること。
• 複数のスパース行列フォーマットとGPUカーネル最適化を評価・比較し、DLP関連の行列に最適な構成を同定すること。

提案手法

• ワーブごとに行をグループ化することで、スレッドブロックのスレッド割り当て効率と起動オーバーヘッドを改善する、CSR-V（ベクトル化された値を有する圧縮スパース行）フォーマットを用いたSpMVカーネルの実装。
• 不規則なメモリアクセスパターンを示すスパース行列におけるグローバルメモリのコalescingを向上させ、遅延を低減するため、テクスチャメモリバインディングを適用。
• ワーブレベルの実行効率を向上させるために、各行の非ゼロ係数を型（+1, -1, 正, 負）ごとに再順序付け。
• 繰り返し現れる±1係数をランレングスカウントに置き換えることで、値配列を圧縮し、メモリトラフィックを10倍以上削減。
• ワーブ間での負荷を均衡化し、GPUのスレッド割り当てを最大化するため、行列の行を再配置。リソース利用効率が向上。
• 独立したモジュラ算術を可能にするために、残差数体系（RNS）算術を採用。GPUにおける並列性が向上。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大規模な有限体におけるDLP計算に由来するスパース行列に対して、GPU上でSpMVの性能を最大化する方法は何か？
• RQ2 GPU上でのメモリアクセス効率と計算スループットの両立を考慮した場合、CSR-VやSLCOOなどのスパース行列フォーマットのうち、どのフォーマットが最良のトレードオフを提供するか？
• RQ3 GPU固有の最適化（テクスチャキャッシュ、係数再順序付け、データ圧縮）が、DLP行列のSpMV性能にどの程度寄与するか？
• RQ4 RNS算術は、GPU上でのモジュラ算術における並列性と性能にどのように寄与するか？
• RQ5 DLP関連のスパース行列に対して、最適化されたGPU SpMVは、最新のCPU実装比でどの程度の高速化が達成できるか？

主な発見

• CSR-Vカーネルが最高の性能を示し、最速のCPU AVX2実装比で5.5倍の高速化（GPU：57.6 GFLOP/s、CPU：21.2 GFLOP/s）。
• テクスチャキャッシュにより、グローバルメモリロード効率が47.2%から84%に向上し、SpMV遅延が30%削減された。
• 係数再順序付けにより、分岐分岐度が36.7%から12.9%に低下し、5%の性能向上が達成された。
• データ圧縮により、実行命令数が5.8×10⁸から5.72×10⁸に減少（1.4%削減）、11%の高速化が得られた。
• 行の再配置により、スレッド割り当て率が74.9%から81.8%に上昇し、性能が1%向上した。
• 最適化されたGPU SpMV実装により、GF(2^619)およびGF(2^809)における離散対数問題の解法が達成され、大規模なDLP暗号解析の実用的妥当性が示された。