[論文レビュー] Acceleration of Source Iteration using the Dynamic Mode Decomposition

Ryan G. McClarren, Terry Haut|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2018

Model Reduction and Neural Networks参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、動的モード分解（DMD）を用いてゆっくり減衰するモードを同定・除去することで、離散座標輸送計算におけるソース反復の高速化をデータ駆動的に提案する。数回の反復からのスカラーfluxを保存し、特異値分解（SVD）を用いて主要な収束モードを推定することで、輸送スイープ回数を10倍に削減する。収束は散乱比に依存せず、不均一な問題や2次元問題に対しても有効である。

ABSTRACT

We present a novel acceleration technique for improving the convergence of source iteration for discrete ordinates transport calculations. Our approach uses the idea of the dynamic mode decomposition (DMD) to estimate the slowly decaying modes from source iteration and remove them from the solution. The memory cost of our acceleration technique is that the scalar flux for a number of iterations must be stored; the computational cost is a singular value decomposition of a matrix comprised of those stored scalar fluxes.On 1-D slab geometry problems we observe an order of magnitude reduction in the number of transport sweeps required compared to source iteration and that the number of sweeps required is independent of the scattering ratio in the problem. These observations hold for an extremely heterogeneous problem and a 2-D problem. In 2-D we do observe that the effectiveness of the approach slowly degrades as the mesh is refined, but is still about one order of magnitude faster than source iteration.

研究の動機と目的

• 高散乱または不均一な問題において、離散座標輸送計算におけるソース反復の収束が遅い問題に対処すること。
• 高次、非構造的、または不連続有限要素メッシュにおいて、従来の拡散合成加速（DSA）に限界があることを克服すること。
• 輸送作用素の明示的知識を必要としない、データ駆動的で作用素フリーの加速技術を開発すること。
• 特に困難なメッシュ化条件下でも、追加の拡散ソルブやプリコンディショナを必要とせず、高速な収束を実現すること。

提案手法

• 複数回のソース反復スイープからのスカラーfluxベクトルを保存し、データ行列 $Y_-$ と $Y_+$ を構築する。
• 薄い特異値分解（SVD）を用いて $Y_-$ に対して適切な直交分解（POD）を適用し、解空間の低次元基底を抽出する。
• SVDから得た基底を用いて、縮小された空間における輸送作用素の作用を近似する縮小作用素 $\tilde{A} = U^T A U$ を構築する。
• 縮小作用素 $\tilde{A}$ の固有モードを計算し、反復プロセスにおける最もゆっくり減衰するモードを同定する。
• 主要なDMDモードを用いて解を外挿し、収束状態を予測することで、収束を効果的に加速する。
• DMD更新を定期的に行い、推定された収束fluxを用いてソース反復プロセスを再起動または補正する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 DMDは、輸送作用素の明示的知識を必要とせずに、S_N輸送計算におけるソース反復の高速化に用いることができるか？
• RQ2 DMDに基づく加速は、特に高散乱媒体において散乱比に依存しない収束を達成するか？
• RQ3 標準的なDSAが失敗する可能性がある不均一で多次元な問題において、この手法はどのように性能を発揮するか？
• RQ4 メッシュの細分化や問題の複雑さは、DMD加速の有効性にどのような影響を与えるか？
• RQ5 DMDは、エネルギー群反復や温度反復などの他の反復的コンponentに対しても適用可能か？

主な発見

• 散乱比が0.999999に達する1次元平板問題において、DMDは標準的なソース反復と比較してスイープ回数を約10倍に削減した。
• DMDが要請するスイープ回数は散乱比に依存せず、近い1次元の散乱（c = 0.999999）でも50〜70回程度に保たれたが、ソース反復は3900回以上を要した。
• 平均自由行程に1000倍の対比を持つ極めて不均一な1次元問題においても、DMDはスイープ回数を約10倍に削減したが、困難さが増しても依然として有効であった。
• 2次元問題では、$200 \times 120$ メッシュを用いた曲がりくねり管問題において、DMDは104スイープ（K=10, R=3）で収束したが、ソース反復では推定で974スイープを要した。これは10倍の高速化を示している。
• メッシュの細分化に伴い性能はゆっくりと低下するが、セル数の1次元あたりの平方根に比例してスケーリングするが、依然として有効である。
• DMD更新は一時的な高周波数誤差を引き起こすが、これにより次のスイープで迅速に減衰するため、実用的においては頑健であることが示された。