[論文レビュー] Accessible values of Assouad and the lower dimensions of subsets

Changhao Chen, Meng Wu+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、倍加距離空間において、区間 $[0, \dim_A^*E]$ の任意の値が、ある部分集合 $F \subset E$ のアッソウド次元として実現可能であることを確立している。同様に、ローワー次元に対しても同様の性質が成り立つ。著者らは、被覆とパッキングの議論を用いた反復的構成により、この結果を証明し、古典的なハウスドルフ次元およびパッキング次元に関する可達性結果を、これらのフラクタル次元へと拡張している。

ABSTRACT

Let $E$ be a subset of a doubling metric space $(X,d)$. We prove that for any $s\in [0, \dim_{A}E]$, where $\dim_{A}$ denotes the Assouad dimension, there exists a subset $F$ of $E$ such that $\dim_{A}F=s$. We also show that the same statement holds for the lower dimension $\dim_L$.

研究の動機と目的

• 倍加距離空間における部分集合 $F \subset E$ に対して、区間 $[0, \dim_A^*E]$ の任意の値がアッソウド次元として実現可能かどうかを調査すること。
• 古典的次元（ハウスドルフ次元、パッキング次元、ボックスカウント次元）における可達性の性質を、アッソウド次元およびローワー次元へと拡張すること。
• ローワー次元に対しても同様に可達性の性質が成り立つこと、すなわち、任意の $\alpha \in [0, \dim_L E]$ に対して、$\dim_L F = \alpha$ を満たす $F \subset E$ が存在することを確立すること。
• 局所的およびグローバルなアッソウド次元が、すなわちユークリッド空間でさえも顕著に異なる可能性があること、および、所望の局所的およびグローバル次元を持つ集合を構成すること。

提案手法

• バイリプシッツ埋め込みを活用して、問題をユークリッド距離を伴う $\mathbb{R}^d$ の部分集合に還元するため、アッソウド埋め込み定理を用いる。
• スケールを小さくしながら、互いに交わらない球を反復的に選択する方法により、部分集合 $F \subset E$ を構成し、被覆数が制御されるようにする。
• $F = \bigcap_{n \geq 1} E_n$ を定義する。ここで $E_n$ は、半径 $R_n$ の $M^n$ 個の互いに交わらない球の和集合であり、$R_n = \lambda^n R_0$ かつ $M = \lambda^{-\alpha}$ である。
• 局所的次元の定義に従い、$N_r^*(F \cap B(x,R))$ の下限を用いて、$(R/r)^\alpha$ に比例する下界を確立する。
• すべての $0 < r < R \leq R_0$ に対して不等式 $N_r^*(F \cap B(x,R)) \geq C_M (R/r)^\alpha$ を満たすことを用い、$C_M = 1/(M+1)$ であるとし、局所的次元の条件を検証する。
• スノウフレーク変換の下でアッソウド次元とローワー次元が同値となることを利用し、ユークリッド空間から一般の倍加空間への結果の拡張を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $\alpha \in [0, \dim_A^*E]$ に対して、倍加距離空間における部分集合 $F \subset E$ が存在し、$\dim_A^*F = \alpha$ を満たすか？
• RQ2 ローワー次元に対しても可達性の性質が成り立つか、すなわち、任意の $\alpha \in [0, \dim_L E]$ に対して、$\dim_L F = \alpha$ を満たす $F \subset E$ が存在するか？
• RQ3 非有界集合において、局所的およびグローバルなアッソウド次元はどのように関係するか？また、それらを独立に指定することは可能か？
• RQ4 スノウフレーク距離とバイリプシッツ埋め込みは、一般の場合をユークリッド空間に還元するために果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の倍加距離空間の部分集合 $E$ と任意の $\alpha \in [0, \dim_A^*E]$ に対して、$\dim_A^*F = \alpha$ を満たす部分集合 $F \subset E$ が存在する。
• ローワー次元に対しても同様の可達性結果が成り立つ：任意の $\alpha \in [0, \dim_L E]$ に対して、$\dim_L F = \alpha$ を満たす $F \subset E$ が存在する。
• 局所的アッソウド次元 $\dim_A^*E$ とグローバルアッソウド次元 $\dim_A E$ は顕著に異なる場合がある。例えば、$\dim_A^*\mathbb{Z}^d = 0$ であるが、$\dim_A\mathbb{Z}^d = d$ である。
• 任意の $0 \leq \alpha < \beta \leq d$ に対して、$\mathbb{R}^d$ の部分集合 $E$ が存在し、$\dim_A^*E = \alpha$ かつ $\dim_A E = \beta$ を満たす。
• 部分集合 $F$ の構成により、$N_r^*(F \cap B(x,R)) \geq C_M (R/r)^\alpha$ をすべての $0 < r < R \leq R_0$ に対して満たすことが確認され、これによりローワー次元の定義が満たされる。
• 局所的アッソウド次元に関する結果は、王と Wen も別個に得ており、この構成法の堅牢性を裏付けている。