[論文レビュー] Accuracy on eigenvalues for a Schrodinger operator with a degenerate potential in the semi-classical limit

Abderemane Morame, Françoise Truc|ArXiv.org|Jun 9, 2006

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非退化最小値をもつ $ f $ と正の次数 $ a > 0 $ の斉次関数である $ g $ を用いて $ V(x,y) = f(x)g(y) $ と表される退化ポテンシャルをもつ半古典的シュレーディンガー作用素の低エネルギー固有値について、鋭い漸近展開を確立する。ボルン＝オッペンハイマー近似を精緻化し、準固有関数の構成を用いることで、$ \mathcal{O}(\hslash^2) $ まで正確な固有値展開を導出し、固有値および関連する準固有関数の完全な漸近級数を得る。

ABSTRACT

We consider a semi-classical Schrodinger operator with a degenerate potential V(x,y) =f(x) g(y) . g is assumed to be a homogeneous positive function of m variables and f is a strictly positive function of n variables, with a strict minimum. We give sharp asymptotic behaviour of low eigenvalues bounded by some power of the parameter h, by improving Born-Oppenheimer approximation.

研究の動機と目的

• 退化ポテンシャル $ V(x,y) = f(x)g(y) $ をもつシュレーディンガー作用素の低エネルギー固有値の半古典的漸近挙動を解析すること。ここで $ f $ は非退化最小値をもち、$ g $ は斉次関数である。
• 底辺付近の固有値に対する鋭い固有値展開を導出することによって、ボルン＝オッペンハイマー近似を改善すること。
• 低エネルギー固有値に関連する固有関数の正しい漸近的構造を捉える準固有関数を構成すること。
• 半古典的パラメータ $ \hslash = h^{2/(2+a)} $ のみに依存する固有値の完全な漸近展開を確立すること。高次の補正項を含む。

提案手法

• パラメータ $ \hslash = h^{2/(2+a)} $ のスケーリングを導入し、作用素を $ \widehat{H}^{\hslash} = \hslash^2 D_x^2 + D_y^2 + f(x)g(y) $ に変換する。$ g $ の斉次性を活用する。
• 問題をファイバー化された作用素族 $ Q_x(y,D_y) = D_y^2 + f(x)g(y) $ に分解する。その最小固有値は $ \lambda_1(x) = \mu_1 f^{2/(2+a)}(x) $ であり、$ \mu_1 $ は $ D_y^2 + g(y) $ の基底状態エネルギーである。
• $ \lambda_1(x) $ を $ x $ 自由度の有効ポテンシャルとみなしてボルン＝オッペンハイマー近似を適用し、有効シュレーディンガー作用素 $ \hslash^2 D_x^2 + \mu_1 f^{2/(2+a)}(x) $ を得る。
• 形 $ \phi_k^\hslash \sim \hslash^{-m_k} e^{-\psi(x)/\hslash} \sum_{j \geq 0} \hslash^{j/2} a_{kj}(x,y) $ の準固有関数を構成する。ここで $ \psi(x) $ は有効ポテンシャルに関連するアグモン距離である。
• 最小値付近での $ x $ と $ y $ の変数を分離するために、変数変換 $ y \to f^{1/(2+a)}(x) y $ を行い、$ x $ 空間における局所的解析を可能にする。
• $ x=0 $ 付近の局所座標において詳細なスペクトル解析を実施し、ディリクレ切断を用い、縮小作用素 $ H^{h_j}_0 $ の近似固有関数を構成することで、完全な漸近展開に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 退化ポテンシャル $ V(x,y) = f(x)g(y) $ をもつシュレーディンガー作用素の低エネルギー固有値は、半古典的極限においてどのように振る舞うか？
• RQ2 このような系において、ボルン＝オッペンハイマー近似を $ \mathcal{O}(\hslash^2) $ を超える鋭い固有値展開を得られるように改善できるか？
• RQ3 関連固有関数の正確な構造は何か？ また、正しい漸近的挙動を捉える準固有関数を構成できるか？
• RQ4 固有値補正項は、ポテンシャル $ g(y) $ の斉次次数 $ a $ にどのように依存するか？ また、$ f $ の最小値におけるヘッセ行列の役割は何か？
• RQ5 高次の $ \hslash $ 項を含む、固有値の完全な漸近展開を導出できるか？ また、関連する準固有関数の形はどのようなものか？

主な発見

• 作用素 $ \widehat{H}^{\hslash} $ の固有値 $ E_k(\hslash) $ は漸近展開 $ E_k(\hslash) \sim \mu_1 + \hslash e_k + \sum_{j \geq 1} \alpha_{kj} \hslash^{j/2} $ を持つ。ここで $ e_k $ は有効作用素 $ D_x^2 + \frac{\mu_1}{2+a} \langle \partial^2 f(0) x, x \rangle $ の固有値である。
• 基底状態（$ k=1 $）の場合、非退化性と対称性のおかげで、固有値展開の誤差が $ \mathcal{O}(\hslash^{3/2}) $ ではなく $ \mathcal{O}(\hslash^2) $ に改善される。
• 形 $ \hslash^{-m_k} e^{-\psi(x)/\hslash} \sum_{j \geq 0} \hslash^{j/2} a_{kj}(x,y) $ の準固有関数 $ \phi_k^\hslash $ が存在し、$ \| (\widehat{H}^{\hslash} - E_k(\hslash)) \phi_k^\hslash \| \leq C_J \hslash^{(J+1)/2} $ を満たす。これにより漸近展開の正当性が確認される。
• 固有値 $ \lambda_k(\widehat{H}^{\hslash}) $ は $ \lambda_k(\widehat{H}^{\hslash}) = \mu_1 + \hslash \lambda_k( D_x^2 + \frac{\mu_1}{2+a} \langle \partial^2 f(0) x, x \rangle ) + \mathcal{O}(\hslash^{3/2}) $ を満たし、$ k=1 $ の場合は $ \mathcal{O}(\hslash^2) $ である。
• 局所モデルにおいて、固有値について完全な漸近展開 $ \lambda^{h}_{j\alpha} \sim h^{2m/(m+1)} \sum_{k=0}^{\infty} c_{j\ell k\alpha} h^{k/(m+1)} $ が、$ j $ が有界である限り確立される。
• 関連する準固有関数は、$ u^{h}_{j\ell\alpha} \sim c(h) e^{-\psi(x)/h^{1/(m+1)}} \chi_0(t/\epsilon_0) \sum_{k=0}^{\infty} h^{k/(2m+2)} a_{j\ell k\alpha}(x) \phi_{jk}(t/h^{1/(m+1)}) $ の形に精緻化され、正しいスケーリングと構造を捉えている。