[論文レビュー] Accurate determination of time delay and embedding dimension for state space reconstruction from a scalar time series

Aniruddha Tamma, Bhaskar Khubchandani|arXiv (Cornell University)|May 5, 2016

Fault Detection and Control Systems参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、スカラー時系列からの状態空間再構成における時間遅れと埋め込み次元を高精度で決定するための新規手法を提案する。時間遅れの最適化には次元偏差関数を用い、埋め込み次元の決定には飽和に基づく偽の近傍点アプローチを採用する。この手法は、ローレンツおよびマッキー＝グラス吸引子の高精度な再構成を達成し、従来の自己相関および相互情報量手法を上回る性能を示す。

ABSTRACT

A new and accurate method to determine the time delay and embedding dimension for state space reconstruction of a high dimensional system from a scalar time series using time delay embedding is presented. The time delay is obtained to unprecedented accuracy by evaluating the minima of a newly defined dimension deviation function. The efficacy of our method is tested by applying it to the Lorenz system and the Mackey-Glass system. A good agreement is obtained between the shape and embedding dimension of the physical system attractor(s) and the corresponding reconstruction(s) for both the systems studied. This, along with a heuristic argument provide a validation of the proposed method.

研究の動機と目的

• カオス的システムのスカラー時系列からの状態空間再構成における最適な時間遅れと埋め込み次元の選択という課題に取り組む。
• 線形自己相関や平均相互情報量といった従来の手法に起因する限界を克服し、非線形システムに対して正確な再構成を実現する。
• 高次元カオス的システムにおけるスレージ・アトラクタの忠実な再構成を保証する、強固でデータ駆動型の手法を開発する。
• 真の吸引子幾何学的構造と次元が既知の代表的システム（ローレンツおよびマッキー＝グラス）を用いて、手法の妥当性を検証する。

提案手法

• 点ごとのフラクタル次元の最小偏差に対応する時間遅れ τ を特定することで、最適な時間遅れを同定する新しい次元偏差関数を導入する。
• 点ごとのフラクタル次元の定義、D_p = lim_{ε→0} log(μ(B_ε(x))) / log(ε) を用い、再構成された多様体内の局所的幾何構造を定量化する。
• 埋め込み次元の選定に飽和基準を適用する：埋め込み次元を、近傍点数が次元の増加に伴い安定化する点として選ぶ。
• 変更された偽の近傍点アルゴリズムを採用し、ν(i,m,ε) = Σ_j θ(ε - r_ij) を用いて、次元 m の増加に伴う近傍点数の飽和を追跡する。
• ローレンツおよびマッキー＝グラス系をテストケースとして採用し、既知のパラメータと初期条件を用いてオイラー法による時系列生成を実施する。
• 反復的精錬を提案する：まず高次元埋め込みで τ を推定し、その後最適な埋め込み次元が決定された後に再び τ を推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 新しい次元偏差関数は、時間遅れの最適選択において、線形自己相関および相互情報量を上回ることができるか？
• RQ2 提案手法は、既知のカオス的システムの真の幾何学的構造と次元とよく一致する吸引子再構成を達成できるか？
• RQ3 初期埋め込み次元の選択が時間遅れ推定の精度に与える影響は何か？また、その影響を軽減できるか？
• RQ4 近傍点数の飽和が、真の埋め込み次元を信頼性高く示すことができるか？

主な発見

• 提案された次元偏差関数は、ローレンツ系において最適な時間遅れを的確に特定し、真の吸引子と視覚的に区別できない再構成を達成した。
• ローレンツ系では、埋め込み次元が 5 に特定され、これは既知の吸引子次元と一致しており、近傍点数の飽和点に対応していた。
• 本手法は、線形自己相関および平均相互情報量を上回り、これらは視覚的に最適な遅れ値から大きく離れた最小値を特定していた。
• 明示的な時間遅れ 1500 を持つマッキー＝グラス系に対しても、本手法により正確な再構成が達成され、本手法の有効性が確認された。
• 本手法の時間計算量は O(n²) であるが、データポイントのサブセットに対するサンプリングと平均化により低減可能である。