[論文レビュー] Accurate Frequency Domain Identification of ODEs with Arbitrary Signals

Eduardo Martini, André V. G. Cavalieri+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2019

Control Systems and Identification参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、任意の信号で駆動される線形ODEの一般化された周波数領域システム同定手法を提案する。窓関数の影響を解析的補正項によって正確に補正することで、不自然な窓関数効果を考慮し、過渡誤差を排除し、aliasingを低減する。人工的補正項を必要とせず、正確なパrameter推定を可能にする。滑らかでcompactly supportedな窓関数、たとえば$w_{\text{C}^∞_{1}}$を用いることで、性能向上が実証されている。

ABSTRACT

The difficulty in frequency domain identification is that frequency components of arbitrary inputs and outputs are not related by the system's transfer function if signals are windowed. When rectangular windows are used, it is well known that this difference is related to transient effects that can be estimated alongside the systems' parameters windows. In this work, we generalize the approach for arbitrary windows, showing that signal windowing introduces additional terms in the system's equations. The formalism is useful for frequency-domain input-output analysis of a system, and also for system identification. For the latter application, the approach considerably reduces aliasing effects and allows the computation of the associated correction terms, reducing the number of parameters that need to be estimated. The system identification approach has features of the modulating-function technique, filtering out the effects of initial conditions while retaining the spectral interpretation of frequency-domain methods.

研究の動機と目的

• 非周期的かつ有限長の信号を用いた周波数領域システム同定において、不正確さが生じる問題に対処すること。
• 周波数領域での線形ODE解析において、信号窓関数が引き起こす不自然な過渡効果を排除すること。
• 人工的多項式補正に依存せずに、スペクトル推定におけるaliasing効果を低減すること。
• モジュレーティング関数法を周波数領域手法と統合するために、窓関数由来の誤差項を解析的に計算すること。
• 窓関数効果をモデルに直接組み込むことで、最小限のパrameter推定で正確なシステム同定を可能にすること。

提案手法

• 信号窓関数をODEシステムにおける追加の不自然な入力項としてモデル化する形式的枠組みを導出することで、問題を補正された周波数領域方程式に変換する。
• 窓関数のスペクトルとの畳み込みとして誤差を表現するため、窓関数由来の歪みを解析的に取り扱える。
• 任意の窓関数に対して有効な一般化された補正フレームワークを導入し、従来の長方形窓に限られた先行研究を拡張する。
• 離散フーリエ変換におけるaliasing効果の解析的表現を導出し、窓関数の滑らかさに依存する収束率を示す。
• 滑らかでcompactly supportedな窓関数（例：$w_{\text{C}^∞_{1}}$）を用いてスペクトル漏れを最小限に抑え、$f_{\text{err}}^p$における誤差境界を改善する。
• 誤差エンベロープ$f_{\text{err}}^p$を計算し、窓関数効果が所定のしきい値$p$未満となる周波数帯域を定量化することで、最適な窓関数選択を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 窓関数が不自然な過渡効果を引き起こす場合、任意の非周期的信号に対して周波数領域システム同定をどのように正確に実現できるか。
• RQ2 任意の窓関数に対して補正項がどのような解析的形をとり、システムの伝達関数とどのように関係するか。
• RQ3 滑らかでcompactly supportedな窓関数を選択することで、周波数領域同定におけるaliasing効果をどの程度低減できるか。
• RQ4 窓関数由来の誤差項を推定する代わりに解析的に計算することで、モジュレーティング関数法を周波数領域に一般化できるか。
• RQ5 誤差推定の収束率が窓関数の滑らかさおよびその導関数にどのように依存するか。

主な発見

• 本手法は、窓関数由来の不自然な入力項を解析的に計算することで、周波数領域同定誤差を低減し、経験的多項式補正の必要性を排除する。
• $w_{\text{C}^∞_{1}}$のような滑らかな窓関数を用いる場合、誤差しきい値$f_{\text{err}}^{10^{-6}}$は99 Hzに達し、この周波数未満では信号エネルギーの99%が解像されることを示す。
• 信号が滑らかである場合、DFT誤差の収束率が$O(1/k^{n+1})$に達する。これは、滑らかでない信号の$O(1/k^n}$より優れている。
• $w_{\text{C}^∞_{4}}$を用いることで、誤差しきい値$f_{\text{err}}^{10^{-12}}$は63 Hzに達し、非常に小さな誤差レベルでも高精度な解像が可能であることを示す。
• 提案された窓関数族$w_{\text{C}^∞_{\rho}}$により、滑らかさパrameterを用いてaliasingと過渡誤差を体系的に制御可能であり、$f_{\text{err}}^{10^{-12}}$は$\rho=1$の760 Hzから$\rho=4$の63 Hzにまで低下する。
• 形式的枠組みにより、周波数領域解析とモジュレーティング関数法が統合され、初期条件の影響をフィルタリングしながらもスペクトル解釈を保持し、パrameter推定の負荷を低減する。