[論文レビュー] Accurate heteroclinic orbits and phase space areas

Jizhou Li, Steven Tomsovic|arXiv (Cornell University)|May 16, 2015

Quantum chaos and dynamical systems被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、不変多様体の安定性を活用することで、直接軌道積分を避けて、面積保存写像における異宿的ねじれの境界をなす位相空間面積を正確に計算する新規手法を提示する。この手法は、安定・不安定多様体上の補助点を用いて長距離の軌道セグメントを再構築し、作用差の正確な計算と、作用差と位相空間面積の一般関係の検証を可能にする。結果はキックドローター・モデルで検証された。

ABSTRACT

A general relation is derived for the action difference between two fixed points and a phase space area bounded by the irreducible component of a heteroclinic tangle. The determination of this area can require accurate calculation of heteroclinic orbits, which are important in a wide range of dynamical system problems. For very strongly chaotic systems initial deviations from a true orbit are magnified by a large exponential rate making direct computational methods fail quickly. Here, a method is developed that avoids direct calculation of the orbit by making use of the well-known stability property of the invariant unstable and stable manifolds. Under an area-preserving map, this property assures that any initial deviation from the stable (unstable) manifold collapses onto themselves under inverse (forward) iterations of the map. Using a set of judiciously chosen auxiliary points on the manifolds, long orbit segments can be calculated using the stable and unstable manifold intersections of the heteroclinic (homoclinic) tangle. Detailed calculations using the example of the kicked rotor are provided along with verification of the relation between action differences. The loop structure of the heteroclinic tangle is necessarily quite different from that of the turnstile for a homoclinic tangle, its analogous partner.

研究の動機と目的

• 面積保存写像における異宿的ねじれの境界をなす位相空間面積と作用差の一般関係を導出すること。
• 初期偏差の指数的発散に起因する強いカオス的系における異宿的軌道計算の数値的不安定性に対処すること。
• 不変多様体の安定性を活用することで、直接的軌道計算を回避する、堅牢な計算手法を開発すること。
• キックドローター・モデルを具体的な事例として用い、導出された関係を検証すること。

提案手法

• 写像の前向きおよび逆向き反復において、不変安定・不安定多様体の安定性を活用して、真の軌道からの初期偏差を補正すること。
• 安定・不安定多様体上に補助点の集合を選び、異宿的軌道の長距離セグメントを反復的に再構築すること。
• 前向きおよび逆向き反復を適用して、強いカオス的状態でも数値的爆発を回避しながら真の異宿的軌道構造に収束させること。
• 収束した軌道セグメントを用いて、異宿的ねじれの不可約成分によって囲まれる位相空間面積を構築すること。
• 2つの不動点の作用差と囲まれた位相空間面積の一般関係を導出し、検証すること。
• キックドローター・モデルを用いて、手法の実装と理論的関係の検証を具体的に示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強いカオス的力学系における異宿的ねじれによって囲まれる位相空間面積は、どのようにして正確に計算できるか？
• RQ2 2つの不動点の作用差と異宿的ねじれによって囲まれる面積の一般関係は何か？
• RQ3 不変多様体の内在的安定性を活用することで、直接的軌道計算における数値的不安定性はどのように克服できるか？
• RQ4 異宿的ねじれのループ構造は、ホモクロニック・ターンスタイルと比べて、幾何学的および力学的性質においてどのように異なるか？
• RQ5 導出された作用-面積関係は、有名なカオス的系（キックドローター）において数値的に検証可能か？

主な発見

• 不安定な軌道の直接積分を避けることで、数値的発散を克服し、異宿的ねじれによって囲まれる位相空間面積を正確に計算できた。
• キックドローター・モデルにおいて、作用差と囲まれた位相空間面積の関係が、高い精度で数値的に検証された。
• 異宿的ねじれのループ構造は、ホモクロニック・ターンスタイルとは本質的に異なり、異なる力学的接続性を反映している。
• 不変多様体上の補助点を用いることで、強いカオス的状態でも反復的収束によって長距離の軌道セグメントを再構築可能である。
• 前向きおよび逆向き反復における不変多様体の安定性が、正確な位相空間面積計算の堅牢な基盤を提供する。
• 本手法により、異宿的ねじれにおける作用差と位相空間面積が体系的に関連づけられ、力学系における新たな計算的・解析的ツールが可能になった。