[論文レビュー] Accurate macroscale modelling of spatial dynamics in multiple dimensions

A. J. Roberts, Tony MacKenzie+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2011

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 41被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、中心多様体理論と一般化されたギャップ・トゥース法を活用することで、2次元以上の空間次元における反応拡散系の高精度なマクロスケールモデル化のためのきめ細やかで包括的なフレームワークを提示する。微小スケールシミュレータ（PDEまたはパッチベースのシミュレーション）から、特別に設計されたパッチ間結合条件を介して一貫性があり高次の離散モデルが出現することを確立しており、理論的妥当性と計算効率の両方を保証する。

ABSTRACT

Developments in dynamical systems theory provides new support for the macroscale modelling of pdes and other microscale systems such as Lattice Boltzmann, Monte Carlo or Molecular Dynamics simulators. By systematically resolving subgrid microscale dynamics the dynamical systems approach constructs accurate closures of macroscale discretisations of the microscale system. Here we specifically explore reaction-diffusion problems in two spatial dimensions as a prototype of generic systems in multiple dimensions. Our approach unifies into one the modelling of systems by a type of finite elements, and the `equation free' macroscale modelling of microscale simulators efficiently executing only on small patches of the spatial domain. Centre manifold theory ensures that a closed model exist on the macroscale grid, is emergent, and is systematically approximated. Dividing space either into overlapping finite elements or into spatially separated small patches, the specially crafted inter-element/patch coupling also ensures that the constructed discretisations are consistent with the microscale system/PDE to as high an order as desired. Computer algebra handles the considerable algebraic details as seen in the specific application to the Ginzburg--Landau PDE. However, higher order models in multiple dimensions require a mixed numerical and algebraic approach that is also developed. The modelling here may be straightforwardly adapted to a wide class of reaction-diffusion PDEs and lattice equations in multiple space dimensions. When applied to patches of microscopic simulations our coupling conditions promise efficient macroscale simulation.

研究の動機と目的

• 複数次元における空間的ダイナミクスの理論的裏付けに基づいた、体系的なマクロスケールモデリング手法の開発。
• 中心多様体理論を用いて有限要素法と「方程式フリー」なパッチベースモデリングを統合する共通のフレームワークの構築。
• マクロスケール離散化と下位スケールのダイナミクス（例：PDE やシミュレータ）との間の高次の一致を保証すること。
• 空間的に分離されたパッチ上で小スケールのマイクロシミュレーションを結合することで、大規模システムの効率的シミュレーションを可能にすること。
• ギャップ・トゥース法を2次元以上に一般化し、正確性と安定性を保証する形で拡張すること。

提案手法

• 中心多様体理論を用いて、スロー多様体が存在し、それが閉じたマクロスケールモデルとして機能することを証明する。
• 空間的に分離されたパッチまたは重複する有限要素間の非局所的結合条件を用いた一般化されたギャップ・トゥース法を適用する。
• 漸近展開と代数的操作を用いて、サブグリッドダイナミクスを一致させることで、高次の一致する離散化を導出する。
• 高次の閉じ込めモデルに必要な複雑な記号的計算を処理するために、コンピュータ代数を用いる。
• サブグリッド場の数値計算と記号的係数表現を組み合わせることで、複数次元における高次の精度を実現する。
• マクロスケールモデルがグリッド間隔 H → 0 のとき真のPDEに収束することを示し、誤差境界が O(δi²ᵖ + δj²ᵖ) であることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心多様体理論は、2次元空間的反応拡散系のマクロスケール離散化を正当化するために拡張可能か？
• RQ2 下位スケールのダイナミクスと高次の一致を保証するため、パッチ間または要素間の結合条件をどのように設計できるか？
• RQ3 随伴系はマクロスケールモデルの精度を向上させる役割を果たすか？
• RQ4 純記号的手法が複数次元で失敗する場合に、代数的および数値的手法をどのように組み合わせて高次のモデルを構築できるか？
• RQ5 正確性と効率性を保ちつつ、ギャップ・トゥース法を体系的に多次元に一般化できるか？

主な発見

• 中心多様体理論を用いて、有限グリッド間隔 H におけるスロー多様体の存在が厳密に確立され、マクロスケールモデルが出現的かつ適切に定義されることを保証する。
• 提案された結合条件により、マクロスケール離散化が下位スケールのPDEと任意の高次の一致を保ち、誤差項が O(δi²ᵖ + δj²ᵖ) で有界であることが保証される。
• ギンツブルグ＝ランダウPDEに対しては、マイクロシミュレーションが小さな孤立したパッチに限定されていても、マクロスケールの時間発展が一貫して得られ、フルマイクロスケールシミュレーションと比較して計算コストが約16%にまで削減される。
• 数値的・代数的アプローチの融合により、多次元における高次のモデルの構築が可能となり、純記号的手法の限界を克服する。
• このアプローチは、多次元空間における広範な反応拡散PDEおよび格子方程式に一般化可能である。
• 本フレームワークは、明示的な閉じ込め方程式が不要な状況においても、複雑なマルチスケール系の効率的で方程式フリーなマクロスケールシミュレーションの理論的基盤を提供する。