[論文レビュー] Achieving High Performance with Unified Residual Evaluation

Matthew G. Knepley, Jed Brown+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2013

Model Reduction and Neural Networks参考文献 11被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、有限要素法における一様な残差評価フレームワークを提案し、物理モデリングをメッシュおよび自由度の走査から分離することで、多様なアーキテクチャで高いパフォーマンスを実現する。残差計算を、ガウス求積点における局所関数の評価と行列演算による結果の集約を行う、単一のベクトル化可能なカーネルに抽象化することで、CPUおよびアクセラレータでニアオプティマルなパフォーマンスを達成し、NVIDIA GTX580では300 GFLOPSを達成。同時に、コードの保守性と拡張性も向上する。

ABSTRACT

We examine residual evaluation, perhaps the most basic operation in numerical simulation. By raising the level of abstraction in this operation, we can eliminate specialized code, enable optimization, and greatly increase the extensibility of existing code.

研究の動機と目的

• 低レベルのシステム知識が不要な高パフォーマンスな有限要素残差コードの作成を課題とする。
• メッシュの種別、離散化、アーキテクチャごとに特別に最適化されたコードを必要としないようにする。
• メッシュ走査、基底関数の評価、積分を、任意の要素タイプ、次元、場の数をサポートする、単一の再利用可能なカーネルに統合する。
• 1つのポータブルカーネルを通じて、効率的なベクトル化、タイリング、ハードウェア固有の最適化を実現する。
• ユーザーの貢献を、走査ロジックではなく、局所的物理関数の実装に限定することで、拡張性を簡素化する。

提案手法

• 残差評価を、要素のチャンクを走査し、ガウス求積点で局所関数を適用する1つのカーネルに抽象化する。行列演算を用いて、点ごとの関数評価と結果の集約を実行する。
• 任意のセル形状（単体型、テンソル積型、多角形型）およびハイブリッドメッシュをコード特化なしに処理できる一様な走査モデルを採用する。
• 残差は弱形式で計算される：$ \mathbf{F}(u) \sim \sum_e \mathcal{E}_e^T \left[ B^T W f_0(u^q, \nabla u^q) + \sum_k D_k^T W \mathbf{f}_1^k(u^q, \nabla u^q) \right] $、ここで$ f_0, \mathbf{f}_1 $は局所的物理関数である。
• 点関数の導関数を用いてヤコビ行列を計算し、マトリクスフリーなニュートン法を可能にする。
• メッシュ管理にはPETScのDMPlexを採用し、CPUのタイリングおよびGPU/アクセラレータのブロック・バッチ・スレッド構成を両方サポートする。
• コアカーネルはポータブルである：新しいハードウェア向けに再実装が必要なのは1つのルーチンのみであり、CPU、OpenCL、CUDAデバイス間でのパフォーマンスポータビリティを実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のメッシュタイプ、離散化、空間次元をサポートするが、パフォーマンスを損なわない単一の統一された残差カーネルを設計可能か？
• RQ2 アプリケーション開発者が低レベルの走査コードを書かずに、高パフォーマンスなメモリアクセスパターン、ベクトル化、スレーディングを実現できるか？
• RQ3 ハードウェア固有の最適化を1つのカーネルに集中させることで、どの程度パフォーマンスポータビリティを達成できるか？
• RQ4 本アプローチは、離散化の次数にかかわらず高いパフォーマンスを維持できるか？また、塑性や双曲型保存則のような複雑な物理現象をサポートできるか？
• RQ5 従来の行列アセンブル法と比較して、統一的定式化はパフォーマンスとメモリ帯域幅においてどのように差をつけるか？

主な発見

• 統一された残差カーネルは、1次有限要素問題においてNVIDIA GTX580で300 GFLOPSを達成し、高い演算強度と効率的なメモリアクセスを示した。
• マトリクスフリーな残差評価は、特に高次離散化において、行列アセンブル法と比較してメモリ帯域幅の要件を顕著に低減した。
• ガウス求積点および基底関数の両方で完全なベクトル化が可能であり、現代のコンパイラーおよびアクセラレータがデータレベル並列性を効果的に活用できる。
• 同じコアカーネルをCPU、OpenCL、CUDA向けにコンパイル可能であり、最小限のコード変更で多様なハードウェアプラットフォーム間でパフォーマンスポータビリティを実現した。
• 積分の一般化と走査モデルの拡張により、面に対する統合と再構成・リーマンソルバの統合を可能とし、双曲型保存則のような複雑な物理現象をサポートした。
• 可変次数のテンソル積離散化において、libMesh や Deal.II の従来実装を上回る、あるいは同等のパフォーマンスを達成したが、コードははるかにシンプルかつ保守的であった。