[論文レビュー] Achieving the Holevo bound via sequential measurements

Vittorio Giovannetti, Seth Lloyd+1 more|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|Dec 2, 2010

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、量子チャネルを用いた古典的通信のための逐次的測定復号戦略を提案する。この戦略は、漸近的にホールーフォンの上限に達し、理論的な古典的情報伝送レートの最大値に近づく。受信した量子コドウワードに対して、逐次的な射影的YES/NO測定を施すことで、長大なコドウワードの極限において誤り確率が消えるように設計されており、技術的複雑性が低く、実装可能性に優れた、PGM（良い測定）手法の代替手段としてより単純で直感的な選択肢を提供する。

ABSTRACT

We present a new decoding procedure to transmit classical information in a quantum channel which, saturating asymptotically the Holevo bound, achieves the optimal rate of the communication line. Differently from previous proposals, it is based on performing a sequence of (projective) YES/NO measurements which in N steps determines which codeword was sent by the sender (N being the number of the codewords). Our analysis shows that as long as N is below the limit imposed by the Holevo bound the error probability can be sent to zero asymptotically in the length of the codewords.

研究の動機と目的

• 量子チャネルを用いた古典的通信におけるホールーフォンの上限に漸近的に到達する新しい復号手順を提供すること。
• 従来の良い測定（PGM）を、射影的YES/NO測定に基づく逐次的測定戦略に置き換えること。
• PGMおよび関連手法の技術的複雑性を避けることで、量子復号の解析と解釈を単純化すること。
• 復号における量子もつれの役割を明確にし、実装可能性を示すこと。
• 典型部分空間理論と量子仮説検定に基づく逐次的検出フレームワークを用いて、ホールーフォンの上限の漸近的達成性を形式的に証明すること。

提案手法

• 本スキームは、受信した量子状態がN通りの可能なコドウワードのいずれかと一致するかを逐次的にテストする、射影的YES/NO測定の系列を用いる。
• 各ステップで、特定のコドウワードに対応する部分空間への射影を確認し、肯定的結果が得られるとプロセスは終了する。
• 復号戦略は、$ \vec{j}_k $ を系列内のk番目のコドウワードとして表す射影演算子の系列 $ P_{\vec{j}_k} $ を用いて形式化される。
• 平均誤り確率は、すべてのコドウワードおよびすべての可能なコードに対して、典型部分空間の議論と量子仮説検定技術を用いて分析される。
• 誤り確率のバウンディングと収束の分析に用いられる、$ W_0 = \sum_{\vec{j}} p_{\vec{j}} P_{\vec{j}} $ および $ \bar{W}_0 = \openone - W_0 $ といった主要な演算子が導入される。
• 証明は情報スペクトル法と量子典型性から導かれる不等式に依拠しており、$ N $ がホールーフォンの限界以下であれば誤り確率が指数関数的に減少することが示されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 逐次的測定戦略は、量子通信チャネルでホールーフォンの上限に到達可能か？
• RQ2 この逐次的復号スキームにおいて、長大なコドウワードの極限における誤り確率はどのように振る舞うか？
• RQ3 コドウワード数 $ N $ とホールーフォンの上限の間には、通信レートの観点でどのような関係があるか？
• RQ4 複雑性、解釈可能性、実装可能性の観点から、この逐次的アプローチは良い測定（PGM）と比べてどう異なるか？
• RQ5 もつれと測定構造は、ホールーフォンの上限への漸近的到達を可能にする上で果たす役割は何か？

主な発見

• 逐次的測定スキームは、コドウワード長 $ n \to \infty $ の極限において、平均誤り確率がゼロに収束するため、ホールーフォンの上限に漸近的に到達する。
• コドウワード数 $ N $ がホールーフォンの上限以下である場合、すなわち $ N \leq 2^{n(\chi(\mathcal{E}) - \delta)} $ （$ \delta > 0 $ が十分小さい）であれば、誤り確率は指数関数的に減少する。
• 良い測定（PGM）が要する複雑な最適化を回避し、より単純で直感的な復号手順を提供する。
• 解析により、典型部分空間の条件下で $ \mathrm{Tr}[W_1 P] > 1 - 2\epsilon' $ が成立し、正しいコドウワードの識別に高い成功確率が得られることを確認した。
• 誤り項の指数的減少を示すバウンディング $ \mathrm{Tr}[W_1 \bar{W}_0^z] \leq \mathrm{Tr}[W_1 \bar{W}_0^{z-1}] \cdot 2^{-n(\chi(\mathcal{E}) - 2\delta)} $ が得られ、誤り確率がゼロに収束することを保証した。
• 従来の技術を用いた形式的証明を提供するとともに、逐次的仮説検定の観点から直感的な解釈も可能である。