[論文レビュー] Ackermannian Integer Compression and the Word Problem for Hydra Groups

Will Dison, Eduard Einstein+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 12被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、アッカーマン関数の反復を用いて圧縮された整数を効率的に計算するための新規手法を導入し、アッカーマン的（Ackermannian）なデーン関数を有する、有限生成で関係式が有限の群（ハイドラ群）の語問題を多項式時間で解くアルゴリズムを提示する。この群は極めて複雑であることが知られており、非初等的成長と極端な歪みを示すが、本手法により、圧縮された整数の計算を基盤に、高速な決定手続きが可能となる。

ABSTRACT

For a finitely presented group, the word problem asks for an algorithm which declares whether or not words on the generators represent the identity. The Dehn function is a complexity measure of a direct attack on the word problem by applying the defining relations. Dison & Riley showed that a "hydra phenomenon" gives rise to novel groups with extremely fast growing (Ackermannian) Dehn functions. Here we show that nevertheless, there are efficient (polynomial time) solutions to the word problems of these groups. Our main innovation is a means of computing efficiently with enormous integers which are represented in compressed forms by strings of Ackermann functions.

研究の動機と目的

• アッカーマン的（Ackermannian）なデーン関数を示す、有限関係式群であるハイドラ群の語問題を、通常は取り扱いが困難であるほど極めて高速に成長する性質にもかかわらず、多項式時間で解くこと。
• 直接評価が非現実的であるにもかかわらず、反復アッカーマン関数を用いて圧縮表現された整数に対する効率的計算手法を開発すること。
• ハイドラ群 Gk の部分群 Hk におけるメンバーーシップ問題を多項式時間で解くこと。この問題の解法は、より大きな群 Γk における語問題の解法の中心的役割を果たす。
• デーン関数の極端な成長にもかかわらず、群の構造的性質と圧縮整数算術の組み合わせにより、語問題が多項式時間で解けることを示すこと。
• 圧縮整数計算と部分群のメンバーーシップチェックを統合することで、Γk における語問題全体を O(n^{3k^2 + k + 2}) 時間で解けることを示すこと。ここで n は入力長である。

提案手法

• アッカーマン関数の文字列を用いた整数の圧縮表現（ψ-語）を導入し、極めて大きな整数を効率的に符号化可能にする。
• ψ-語が表す整数が正、負、またはゼロであるかを、定義域の有効性を追跡しながら再帰的に簡約することで、多項式時間で判定するアルゴリズム（Psi）を設計する。
• 群の要素が圧縮整数に作用する際の計算を、キャンセルの制約を課す「ピース基準（Piece Criterion）」を用いて、効率的に実行する再帰的アルゴリズム（Frontm と Backm）を開発する。
• 群語を通じて圧縮整数表現を伝搬させる Pushm アルゴリズムを構築し、圧縮表現の長さとランクに上限を維持する。
• Pushm および Piecem アルゴリズムを用いて、与えられた語が単位元に写像されるかどうかを、圧縮整数評価を用いて Hk におけるメンバーーシップ問題を解く。
• メンバーーシップソルバーと Britton の補題を組み合わせることで、HNN 拡張 Γk における語問題を、Gk 内の再帰的簡約とメンバーーシップテストの繰り返し応用に還元し、全問題に対して多項式時間解法を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アッカーマン的デーン関数を有する群に対し、極めて非初等的な成長を示すにもかかわらず、語問題を多項式時間で解くことは可能か？
• RQ2 明示的な評価なしに、反復アッカーマン関数による表現で表された整数に対して、効率的な算術演算を実行することは可能か？
• RQ3 群の要素が極めて非線形かつ高速に成長する関数を介して作用する場合、Hk におけるメンバーーシップを効率的にテストする方法は何か？
• RQ4 ハイドラ群にどのような構造的性質が存在するため、多項式デーン関数が存在しないにもかかわらず、語問題が多項式時間で解けるのか？
• RQ5 圧縮整数表現を用いて、群の作用とキャンセルプロセスをシミュレートする方法は、時間計算量の上限を保つように可能か？

主な発見

• ハイドラ群 Γk における語問題は、入力語の長さを n とすると、O(n^{3k^2 + k + 2}) 時間で解けることが保証され、アッカーマン的デーン関数にもかかわらず多項式時間解法が成立する。
• Gk の部分群 Hk におけるメンバーーシップ問題は、語 w と圧縮整数 f に対して、Pushm および Piecem アルゴリズムを用いて O((ℓ(w) + ℓ(f))^{2m + k}) 時間で解ける。
• ψ-語（アッカーマン関数による整数の圧縮表現）を評価する新規アルゴリズム Psi は、次数 4 + k の多項式時間で動作し、結果が正、負、またはゼロであるかを特定する。
• 評価中に定義域違反が発生しても、アルゴリズムは正しく処理し、中間段階でのアッカーマン関数の未定義適用に対しても正しさを保証する。
• Pushm アルゴリズムは、語 v の長さ ℓ(v) と圧縮整数 f に対して、O((ℓ(v) + ℓ(f))^{2m + k + 1}) 時間で実行され、出力 g に対して ℓ(g) ≤ ℓ(f) + 2mℓ(v) を満たす。
• Γk における全問題の解法は、メンバーーシップソルバーに最大 n/2 回、Gk 語問題ソルバーに 1 回の呼び出しを含み、両者とも多項式時間内に実行され、全体の時間計算量が O(n^{3k^2 + k + 2}) に収束する。