[論文レビュー] Action and Energy of the Gravitational Field

J. Brown, Stephen R. Lau+1 more|ArXiv.org|Oct 6, 2000

Advanced Differential Geometry Research参考文献 3被引用数 28

ひとこと要約

この論文は、ハミルトニアン形式とハミルトン＝ヤコビ理論の場の理論的一般化を用いて、重力場の準局所的ストレssエネルギー運動量テンソルを構築する。境界計量に関して重力作用を変分することで、座標に依存しない準局所的エネルギー運動量の定義が得られ、これは大球近似の極限で既知の結果に還元され、有限な時空領域に適用可能であり、ADMエネルギーのような漸近的定義の物理的に意味のある代替案を提供する。

ABSTRACT

We present a detailed examination of the variational principle for metric general relativity as applied to a ``quasilocal'' spacetime region $\M$ (that is, a region that is both spatially and temporally bounded). Our analysis relies on the Hamiltonian formulation of general relativity, and thereby assumes a foliation of $\M$ into spacelike hypersurfaces $Σ$. We allow for near complete generality in the choice of foliation. Using a field--theoretic generalization of Hamilton--Jacobi theory, we define the quasilocal stress-energy-momentum of the gravitational field by varying the action with respect to the metric on the boundary $\partial\M$. The gravitational stress-energy-momentum is defined for a two--surface $B$ spanned by a spacelike hypersurface in spacetime. We examine the behavior of the gravitational stress-energy-momentum under boosts of the spanning hypersurface. The boost relations are derived from the geometrical and invariance properties of the gravitational action and Hamiltonian. Finally, we present several new examples of quasilocal energy--momentum, including a novel discussion of quasilocal energy--momentum in the large-sphere limit towards spatial infinity.

研究の動機と目的

• 有限な時空領域における重力場の物理的に意味のある、準局所的ストレssエネルギー運動量テンソルを定義すること。
• 有限系に対して物理的に意味のない漸近的定義（例：ADMエネルギー）の限界を克服すること。
• 微分同相変換不変かつ座標に依存しない形式を構築し、従来の擬テンソルの問題を避けること。
• 数値相対性理論への応用、特にシミュレーションにおける外境界条件に適用可能な枠組みを確立すること。
• 大球近似の極限で既知の結果（例：ADMエネルギー）が得られ、それらを準局所的に拡張すること。

提案手法

• 準局所的時空領域 M のスカラー的 foliation を用いた一般相対性理論のハミルトニアン形式を用いる。
• 場の理論的一般化されたハミルトン＝ヤコビ理論を適用し、境界計量に関して作用を変分することで、準局所的ストレssエネルギー運動量を定義する。
• 作用とハミルトニアンの不変性から、重力のストレssエネルギー運動量のブースト関係を導出する。
• 境界計量に関する変分が可能となる境界作用を導入し、これにより準局所的エネルギー運動量が得られる。
• 境界上の空間的2次元超曲面 B における法線および接ベクトル場を部分的 foliation を用いて定義し、準局所形式との整合性を保証する。
• 背景時空を必要とせず、完全な微分同相変換不変性を保持する形で形式を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、変分原理から座標に依存しない準局所的エネルギー運動量テンソルを重力場に対して導出できるか？
• RQ2 スパンする超曲面のブーストに対して、重力のストレssエネルギー運動量はどのように振る舞うか？
• RQ3 大球近似の極限（空間無限遠方向）において、準局所的エネルギー運動量はどのようにADMエネルギーに還元されるか？
• RQ4 この形式は、数値相対性理論における外境界条件に応用可能か？
• RQ5 準局所形式は、アインシュタインの擬テンソルやモーラーの四元ベクトルに基づく作用といった、従来の手法と比べてどのように異なるか？

主な発見

• 境界計量に関して重力作用を変分することで、微分同相変換不変かつ座標に依存しない結果が得られ、準局所的ストレssエネルギー運動量が導出される。
• 形式は自然に、空間無限遠方向への大球近似の極限でADMエネルギーを再現し、既存の漸近的結果との整合性が裏付けられる。
• 作用とハミルトニアンの不変性構造から、重力エネルギー運動量のブースト関係が導出され、相対論的変換則と整合的であることが示される。
• 背景時空や固定座標に依存せず、完全な一般共変性を保持し、従来の手法の擬テンソル問題を回避する。
• 有限領域における準局所的エネルギーの定義に実用的な枠組みを提供し、数値相対性理論や半古典的重力への直接的な応用が可能である。
• 境界項の減算は、境界要素上のスミアリング積分を用いて処理され、形式の整合的な正準変換とゼロ点自由性を保証する。