[論文レビュー] Action Integrals and discrete series

Andrés Viña|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2011

Advanced Algebra and Geometry被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、実半単純リー群の離散的系列表現の不変量を、M = G_R/T_R 上のハミルトニアン力学を用いて幾何学的に解釈する。幾何学的量子化および関連バンドル上の接続を用いて、Z(G_R) に属する g に対する中心的特徴 π(g) が、ハミルトニアン微分同相写像のループ上でのホロノミー作用に関連することを示す。主な結果は、中心的要素 g に対する Ψ(g) の濃度に基づいて、Diff(M) の特定の部分群の基本群に対する下界が得られることである。

ABSTRACT

Let $G$ be a complex semisimple Lie group and ${G}_{\mathbb R}$ a real form that contains a compact Cartan subgroup $T_{\mathbb R}$. Let $\pi$ be a discrete series representation of $G_{\mathbb R}$. We present geometric interpretations in terms of concepts associated with the manifold $M:=G_{\mathbb R}/T_{\mathbb R}$ of the constant $\pi(g)$, for $g\in Z(G_{\mathbb R})$. For some relevant particular cases, we prove that this constant is the action integral around a loop of Hamiltonian diffeomorphims of $M$. As a consequence of these interpretations, we deduce lower bounds for the cardinal of the fundamental group of some subgroups of ${ m Diff}(M)$. We also geometrically interpret the values of the infinitesimal character of the differential representation of $\pi$.

研究の動機と目的

• g ∈ Z(G_R) に対する中心的特徴 π(g) を、M = G_R/TR 上のハミルトニアン微分同相写像のループを用いて幾何学的に解釈すること。
• 微分表現 π′ の無限小的特徴 χ(J) が、関連するベクトルバンドル上の曲率および接続不変量とどのように関係するかを明らかにすること。
• 量子化作用素が生成する流れのホモトピー型を分析することにより、Diff(M) の部分群 G ⊂ に課される位相的制約を導出すること。
• 軌道法および L2-コホモロジー構成を介して、表現論的不変量とシンプレクティック幾何学との間の関係を確立すること。
• 適切な幾何的条件下で、Z(G_R) に属する g に対する Ψ(g) の異なる値の数によって、π₁(G) の濃度が下から抑えられることを証明すること。

提案手法

• シュミットの L2-コホモロジー構成を用いて、G/B 上の正則線バンドルおよびその M = G_R/TR への制限を通じて、離散的系列表現を構成する。
• G_R に不変な接続 Ω を、W = C ⊗ ⋀^q u* 上での T_R の表現 Ψ から構成された GL(W)-主バンドル P → M 上に導入する。
• 接続 ∇ および表現 Ψ′ を用いて、関連バンドルの断面上の第一順位微分作用素として '量子化作用素' QA を定義する。
• 中心的要素 g ∈ Z(G_R) の作用が、P 上のゲージ変換 H₁ に対応することを示し、H₁(p) = pκ かつ |κ| = 1 となることを示す。
• 水平リフトおよびホロノミーの理論を適用して、中心的特徴 κ を、G_R → M 上の不変接続を用いた M 内のループのモノドロミーに関連付ける。
• G 内のループの変形理論を用いて、異なる Ψ(g) の値から非ホモトピックなループが生じることを示し、π₁(G) の下界が得られることを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 g ∈ Z(G_R) に対する中心的特徴 π(g) を、M = G_R/TR 上のハミルトニアン力学を用いてどのように幾何学的に解釈できるか？
• RQ2 J ∈ Z(g) に対する微分表現 π′ の無限小的特徴 χ(J) は、バンドル P 上の曲率および接続の幾何学的意味は何か？
• RQ3 量子化作用素 QA は、g_R の表現論および M の幾何学とどのように関係しているか？
• RQ4 GR の作用を含む部分群 G ⊂ Diff(M) に、表現論がどのような位相的制約を課えるか？
• RQ5 Z(G_R) 上の表現 Ψ の値を用いて、基本群 π₁(G) を下から抑えられるか？

主な発見

• g ∈ Z(G_R) に対する中心的特徴 π(g) は、バンドル P 上でのハミルトニアン微分同相写像のループのホロノミー作用として幾何学的に実現され、H₁(p) = pκ となる。
• J ∈ Z(g) に対する無限小的特徴 χ(J) は、H 上での微分作用素 p(Q_E^{-ν}, Q_{C_i}, Q_{E_ν}) のスカラー作用として実現され、その値は χ(J) ∈ ℂ に等しい。
• 条件 (3.9) を満たす任意の連結リー部分群 G ⊂ Diff(M) に対して、π₁(G) の濃度は、Z(G_R) に属する g に対する Ψ(g) の異なる値の数によって下から抑えられる。
• G_R がコンパクトで、φ が正規支配的であるとき、定理 24 により、任意の連結リー部分群 G ⊂ Symp(M, ̟) に対して ♯π₁(G) ≥ ♯{Φ(g) | g ∈ Z(G_R)} が成り立つ。
• SU(2) の場合、この結果は ♯π₁(Ham(CP¹, ̟)) ≥ 2 を意味し、π₁(Ham(CP¹, ω)) ≅ ℤ/2ℤ と整合的である。
• コロナリー 22 により、Ψ(g₁) と Ψ(g′₁) が異なる値をとる場合、それに対応する非ホモトピックなループが生じることが示され、異なる中心的要素が非ホモトピックな流れを生成することを保証する。