[論文レビュー] Action of the Grothendieck-Teichmueller group on the operad of Gerstenhaber algebras

Dimitri Tamarkin|ArXiv.org|Feb 5, 2002

Advanced Topics in Algebra参考文献 1被引用数 27

ひとこと要約

この論文は、Grothendieck-Teichmüller群がGerstenhaber代数のoperadに非自明に作用することを確立し、ホモロジー上の単射写像を通じて、すべての非自明な元がoperadの自由分解上でホモトピー的に非自明な作用を引き起こすことを証明している。この結果は、フィルター付き代数と変形理論を含むLie代数的およびoperad的枠組みを通じて、弦図からoperadへ作用を転送することによって得られる。

ABSTRACT

Action of the graded Grothendieck-Teichmueller (GT) group on a resolution of the operad of Gerstenhaber algebras (GA) is defined. It is shown that the induced Lie algebra action is homotopically non-trivial (i.e. the induced map from the Lie algebra of the graded GT group to the deformation complex of the operad of GA is injective).

研究の動機と目的

• Grothendieck-Teichmüller群がGerstenhaber代数のoperadに非自明に作用することを確立すること。
• この作用がホモロジーのレベルで非自明であることを示し、したがってホモトピー的に自明でないことを示すこと。
• Grothendieck-Teichmüller群のLie代数からGerstenhaberoperadの変形複体への写像を構成すること。
• ホモロジー上の誘導写像が単射であることを示し、非退化した作用を保証すること。

提案手法

• 有限集合 $T$ に対して、生成子 $t_{ij}$ と関係 $[t_{ij}, t_{kl}] = 0$（異なる添字の場合）および $[t_{ij}, t_{ik} + t_{jk}] = 0$ を用いてLie代数 $\mathfrak{g}(T)$ を定義する。
• 有限集合 $X$ における $\mathfrak{g}(X)$ の完備普遍包あらわし代数と括弧付けoperad $\mathbf{P}(X)$ からなる $\mathbf{PCD}$ を構成し、小さなフィルター付き圏の圏におけるテンソル積として定義する。
• 直接像と逆像の写像による $\mathfrak{g}(X)$ の関手的性質を用いて、operadの合成写像を定義する。
• Grothendieck-Teichmüller群の作用を弦図から $\mathbf{PCD}$ へ、次にGerstenhaberoperadの自由分解へと転送する。
• 合成写像と全順序を用いてoperadにおけるGerstenhaber括弧を定義し、それによってホモトピー的結合的かつ可換なoperad $\mathbf{hoass}$ と $\mathbf{hoComm}$ を構成する。
• Gerstenhaberoperadの変形複体と $\mathfrak{g}_{\text{RT}}$ Lie代数との関係を分析することで、ホモロジー上の誘導写像の単射性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Grothendieck-Teichmüller群は、ホモトピー的に意味のある方法でGerstenhaber代数のoperadに非自明に作用するか？
• RQ2 Grothendieck-Teichmüller群のLie代数 $\mathfrak{g}_{\text{RT}}$ からGerstenhaberoperadの変形複体への写像がホモロジー上で単射であるか？
• RQ3 弦図におけるGrothendieck-Teichmüller群の作用は、Gerstenhaberoperadの自由分解への非自明な作用へと持ち上げられるか？
• RQ4 $\mathfrak{g}(X)$ と $\mathbf{P}(X)$ から構成されたoperad $\mathbf{PCD}$ は、Gerstenhaberoperadおよびその分解とどのように関係するか？

主な発見

• Grothendieck-Teichmüller群の作用は、Lie代数 $\mathfrak{g}_{\text{RT}}$ からGerstenhaberoperadの変形複体へのホモロジー上の単射写像を誘導する。
• Grothendieck-Teichmüller群の任意の非自明な元は、Gerstenhaberoperadの自由分解上でホモトピー的に非自明な作用をもつ。
• $\mathfrak{g}(X)$ における関手的operad構造が用いられ、合成は有限集合上の直接像と逆像の写像を介して定義される。
• $\mathbf{PCD}$ は $\mathbf{CD}$ と $\mathbf{P}$ のテンソル積として構成され、自然なコcommutativeコモノイド構造をもち、作用を支える。
• $\mathbf{hoass}$ は結合的代数の自由分解のシフトとして定義され、微分は $dm_n' + \frac{1}{2}\sum_{i=2}^{n-1} \{m_i', m_{n+1-i}'\} = 0$ で与えられ、$\mathbf{hoComm}$ は $\mathbf{hoass}$ をシャッフルイデアルで商することで得られる。
• $\mathbf{hoComm}$ から $\mathbf{comm}$ への写像 $p_{c}$ は準同型であり、$\mathbf{hoComm}$ が可換operadの自由分解であることを示している。