[論文レビュー] Action of the Mapping Class Group on Character Varieties and Higgs Bundles

Oscar Garcı́a-Prada, Graeme Wilkin|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 34被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、半単純な実 Lie 群への表面群の特性多様体への、写像類群の有限部分群の作用を研究する。固定点は、リーマン面への $γ$-同変性をもつ twisted $G$-Higgs バンドルを用いて同定され、オーロリッド上のパラボリック Higgs バンドルを一般化し、擬実 Higgs バンドル理論をパラボリック設定へと拡張する。

ABSTRACT

We consider the action of a finite subgroup of the mapping class group Mod$(S)$ of an oriented compact surface $S$ of genus $g \geq 2$ on the moduli space $\calR(S,G)$ of representations of $\pi_1(S)$ in a connected semisimple real Lie group $G$. Kerckhoff's solution of the Nielsen realization problem ensures the existence of an element $J$ in the Teichm\"uller space of $S$ for which $\Gamma$ can be realised as a subgroup of the group of automorphisms of $X=(S,J)$ which are holomorphic or antiholomorphic. We identify the fixed points of the action of $\Gamma$ on $\calR(S,G)$ in terms of $G$-Higgs bundles on $X$ equipped with a certain twisted $\Gamma$-equivariant structure, where the twisting involves abelian and non-abelian group cohomology simultaneously. These, in turn, correspond to certain representations of the orbifold fundamental group. When the kernel of the isotropy representation of the maximal compact subgroup of $G$ is trivial, the fixed points can be described in terms of familiar objects on $Y=X/\Gamma^+$, where $\Gamma^+ \subset \Gamma$ is the maximal subgroup of $\Gamma$ consisting of holomorphic automorphisms of $X$. If $\Gamma=\Gamma^+$ one obtains actual $\Gamma$-equivariant $G$-Higgs bundles on $X$, which in turn correspond with parabolic Higgs bundles on $Y=X/\Gamma$ (this generalizes work of Nasatyr \& Steer for $G=\SL(2,\R)$ and Boden, Andersen \& Grove and Furuta \& Steer for $G=\SU(n)$). If on the other hand $\Gamma$ has antiholomorphic automorphisms, the objects on $Y=X/\Gamma^+$ correspond with pseudoreal parabolic Higgs bundles. This is a generalization in the parabolic setup of the pseudoreal Higgs bundles studied by the first author in collaboration with Biswas \& Hurtubise.

研究の動機と目的

• 写像類群の有限部分群が半単純な実 Lie 群への表面群の特性多様体に作用する固定点を理解すること。
• これらの固定点と、アーベルおよび非アーベルコhomology を含む、twisted $γ$-同変性構造を持つ $G$-Higgs バンドルとの対応関係を確立すること。
• オーロリッド商を用いて、既存の同変および擬実 Higgs バンドル理論をパラボリック設定へ一般化すること。
• 同相性表現の核が自明である場合に、固定点をオーロリッド基本群の表現として特徴づけること。

提案手法

• Kerckhoff の Nielsen 実現問題の解法を用い、写像類群の有限部分群をリーマン面 $X=(S,J)$ の自己同型群として実現する。
• アーベルおよび非アーベル群コホモロジーを組み合わせて、群作用を符号化する、$G$-Higgs バンドル上の twisted $γ$-同変性構造を導入する。
• 指定された同変性をもつ $X$ 上の $G$-Higgs バンドルの幾何学を通じて、特性多様体 $Χ(S,G)$ 上の群作用の固定点を分析する。
• 固定点の記述を、正則自己同型群である $\Gamma^+$ による商 $Y = X / \Gamma^+$ 上の対象に還元する。
• twisted 同変 Higgs バンドルと $Y$ 上のパラボリック Higgs バンドルとの間の対応関係を確立し、$\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ および $\mathrm{SU}(n)$ に対する既知の結果を一般化する。
• 正則的でない自己同型を含む場合と含まない場合を区別し、$Y$ 上のパラボリック Higgs バンドルまたは擬実パラボリック Higgs バンドルが得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 写像類群の有限部分群は、半単純な実 Lie 群への表面群の特性多様体にどのように作用するか？
• RQ2 このような群作用の固定点の幾何学的およびコホモロジー的構造は何か？
• RQ3 twisted $γ$-同変性 $G$-Higgs バンドルは、これらの固定点をどのように記述できるか？
• RQ4 これらの固定点とオーロリッド基本群の表現との関係は何か？
• RQ5 正則的でない自己同型が存在する場合、固定点のパラボリック Higgs バンドルによる分類にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 写像類群の有限部分群 $\Gamma$ が $\calR(S,G)$ に作用する固定点は、アーベルおよび非アーベルコホモロジーを含む、$X$ 上の twisted $\Gamma$-同変性をもつ $G$-Higgs バンドルによってパrametrize される。
• 同相性表現の核が自明である場合、固定点は $\Gamma^+$（正則自己同型群）による商 $Y = X / \Gamma^+$ 上のパラボリック Higgs バンドルに対応する。
• $\Gamma = \Gamma^+$ の場合、固定点は $X$ 上の実際の $\Gamma$-同変性 $G$-Higgs バンドルによって記述され、$Y = X / \Gamma$ 上のパラボリック Higgs バンドルに対応する。これは、$\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ および $\mathrm{SU}(n)$ に対する以前の結果を一般化する。
• $\Gamma$ に正則的でない自己同型が含まれる場合、$Y = X / \Gamma^+$ 上に対応する対象は、擬実パラボリック Higgs バンドルとなり、擬実 Higgs バンドル理論がパラボリック設定へと拡張される。
• この構成により、群作用が特性多様体に与える影響と、コホモロジー的ねじれを介したオーロリッド上の Higgs バンドル理論との統一的枠組みが提供される。
• 結果として、同変および擬実 Higgs バンドルに関する以前の研究が一般化・統一され、有限群作用下での特性多様体の幾何学的性質について、新たな視点が得られる。