[論文レビュー] Action principle and Jaynes' guess method

Q. A. Wang|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2004

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、位相空間における作用を介して定義される最大経路情報が、非平衡ハミルトニアン系における変分作用の原理および最大エントロピー変化を導くことを提案する。経路情報と作用、エントロピーを結びつけることで、最大経路情報が古典的作用の原理および最大エントロピー生成を意味することを示し、ジェインズの最大エントロピー法を主観的推論手法ではなく、帰納的物理法則として再解釈する。

ABSTRACT

A path information is defined in connection with the probability distribution of paths of nonequilibrium hamiltonian systems moving in phase space from an initial cell to different final cells. On the basis of the assumption that these paths are physically characterized by their action, we show that the maximum path information leads to an exponential probability distribution of action which implies that the most probable paths are just the paths of stationary action. We also show that the averaged (over initial conditions) path information between an initial cell and all the possible final cells can be related to the entropy change defined with natural invariant measures for dynamical systems. Hence the principle of maximum path information suggests maximum entropy and entropy change which, in other words, is just an application of the action principle of classical mechanics to the cases of stochastic or instable dynamics.

研究の動機と目的

• 古典力学における作用の原理と、非平衡統計力学における最大エントロピー法との間の関係を確立すること。
• 最大経路情報が確率的または不安定な力学系において、変分作用経路および最大エントロピー変化をもたらすことを示すこと。
• ジェインズの最大エントロピー推論法を、主観的推測手法ではなく物理法則として再解釈すること。
• 経路情報が最大化されると、自然不変測度を介して力学系におけるエントロピー変化に対応することを示すこと。

提案手法

• 初期位相細胞から最終細胞への経路の確率分布に関連するシャノン情報として経路情報を定義する。
• 経路は物理的にその作用によって特徴づけられると仮定し、最大経路情報が作用の指数分布を導くことを導出する。これにより、最も確率的な経路は変分作用の経路であることが示される。
• 非平衡系におけるエントロピー S = -Σμi ln μi を自然不変測度 μi で定義し、エントロピー変化 ΔS = H_B|A を介して経路情報と結びつける。
• 鍵となる式 ΔS = ⟨ln Z⟩ + η⟨A⟩ を導出し、エントロピー変化が平均経路情報に等しいことを示す。ここで Z は正規化因子、A は作用である。
• 最大経路情報の原理を適用して不変測度および確率分布を導出し、古典力学および統計力学の両者と整合することを示す。
• 経路情報を最大化すると、最大エントロピー変化および最大最終エントロピーが得られ、初期エントロピーが固定されている場合、最大エントロピー原理が作用の原理の結果として回復されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大経路情報の原理を、確率的または不安定な力学系における古典的作用の原理を導くのにも応用可能か？
• RQ2 非平衡ハミルトニアン系において、経路情報はエントロピー変化とどのように関係するか？
• RQ3 経路情報を最大化すると、統計力学におけるエントロピーを最大化するのと同じ確率分布が得られるか？
• RQ4 ジェインズの最大エントロピー法を、主観的推論手法ではなく物理法則として解釈できるか？
• RQ5 確率的力学系において、作用、情報、エントロピーの間に根本的な結びつきがあるか？

主な発見

• 最大経路情報は作用の指数分布を導き、最も確率的な経路が変分作用の経路であることを示し、これにより古典的作用の原理が回復される。
• 初期条件に関する平均経路情報はエントロピー変化 ΔS = H_B|A に等しく、自然不変測度を介して定義されたエントロピーの変動と同等である。
• 鍵となる式 ΔS = ⟨ln Z⟩ + η⟨A⟩ は、エントロピー変化が平均作用および正規化因子に直接関係していることを示し、作用と情報理論を統合する。
• 経路情報を最大化すると、最大エントロピー変化が得られ、初期エントロピーが固定されている場合、最大最終エントロピーも同時に得られる。これにより、最大エントロピー原理が作用の原理の結果として回復される。
• 本稿は、情報とエントロピーが確率的力学系において客観的な物理量であり、人間中心の測度ではなく、最大情報が物理法則であると結論づける。最大情報は単なる推論のヒューリスティックではなく、物理法則である。
• 本フレームワークは、最大エントロピー法に帰納的基盤を提供し、それが確率的系への作用の原理の応用であることを示す。