[論文レビュー] Action Selectors and the Fixed Point Set of a Hamiltonian Diffeomorphism

Wyatt Howard|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、閉かつ有理的で弱単調なシンプレクティック多様体上のハミルトニアン微分同相写像の作用スペクトルが、Ljusternik-Schirelman理論が予測するよりも小さいとき、固定点集合は非自明なコホモロジーを持つことを確立する。スペクトル不変量と量子コホモロジーを用いて、このような条件が固定点集合が正の次数で非自明なコホモロジーを支えることを証明し、非アスphericalな場合におけるアーノルド予想を一般化する。

ABSTRACT

In this paper we study the size of the fixed point set of a Hamiltonian diffeomorphism on a closed symplectic manifold which is both rational and weakly monotone. We show that there exists a non-trivial cycle of fixed points whenever the action spectrum is smaller, in a certain sense, than required by the Ljusternik-Schirelman theory. For instance, in the aspherical case, we prove that when the number of points in the action spectrum is less than or equal to the cup length of the manifold, then the cohomology of the fixed point set must be non-trivial. This is a consequence of a more general result that is applicable to all weakly monotone manifolds asserting that the same is true when the action selectors are related by an equality of the Ljusternik-Schirelman theory.

研究の動機と目的

• 作用スペクトルがLjusternik-Schirelman理論が予測するよりも小さいとき、ハミルトニアン微分同相写像の固定点集合のサイズと位相的複雑さを理解すること。
• 孤立した固定点を超えて、アーノルド予想を拡張することにより、非孤立な固定点集合が非自明なコホモロジーを持つことを示すこと。
• 作用選別子、量子コホモロジー、およびシンプレクティック多様体における固定点集合の位相との間の関係を確立すること。
• シンプレクティック的にアスphericalな場合の結果を、より広い有理的かつ弱単調なシンプレクティック多様体のクラスへ一般化すること。

提案手法

• 周期的軌道とそのスペクトル不変量を分析するために、フィルターを施したフローリングホモロジーとコホモロジーを用いる。
• 量子コホモロジーと量子積を適用し、等式 $ c^{α * β}(H) = c^{α}(H) - I^{c}_{ω}(\beta) $ を介してコホモロジー類と作用選別子を関連付ける。
• フローリング理論におけるスペクトル不変量を介して定義される作用選別子 $ c^\alpha(H) $ を用いて、非自明な固定点集合を検出する。
• Ljusternik-Schirelman理論を用いて、作用スペクトルの点の数と多様体のカップ長さを比較する。
• 周期的軌道の列が元のハミルトニアンの固定点に収束することを示すために、$ C^0 $-位相におけるコンパクト性と収束の議論を適用する。
• 収束する部分列を抽出するために、Palais-Smale条件と一様リプシッツ境界を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理的かつ弱単調なシンプレクティック多様体上のハミルトニアン微分同相写像が、非自明なコホモロジーを持つ固定点集合を持つ条件は何か？
• RQ2 作用スペクトルの大きさは、固定点集合の位相にどのように関係するか？
• RQ3 作用スペクトルがカップ長さ未満である場合、スペクトル不変量と量子コホモロジーは非孤立な固定点を検出できるか？
• RQ4 等式 $ c^{\alpha * \beta}(H) = c^{\alpha}(H) - I^{c}_{\omega}(\beta) $ が固定点集合の非自明性を強制する役割を果たすのはどのような場合か？
• RQ5 アスphericalな場合に、$ \#\mathcal{S}(H) < CL(M)+1 $ が $ H^j(F) \neq 0 $ を意味するのはどのような場合か（$ j \geq 1 $）？

主な発見

• シンプレクティック的にアスphericalな多様体に対して $ \#\mathcal{S}(H) < CL(M)+1 $ が成り立つならば、ある $ 1 \leq j \leq 2n $ に対して $ H^j(F) \neq 0 $ である。これは固定点集合が非自明なコホモロジーを持つことを意味する。
• 有理的かつ弱単調な多様体に対して、$ c^{\alpha * \beta}(H) = c^{\alpha}(H) - I^{c}_{\omega}(\beta) $ かつ $ \alpha \neq 0 $、$ \deg(\beta) > 0 $ ならば、$ \beta|_F \neq 0 $ が $ HQ^*(F) $ で成り立つ。これは $ F $ の非自明なコホモロジーを示唆する。
• アスphericalな場合、$ c^{\alpha \cup \beta}(H) = c^{\alpha}(H) $ かつ $ \deg(\beta) > 0 $ ならば、$ H^{\deg(\beta)}(F) \neq 0 $ である。これは、孤立でない固定点に対してもアーノルド予想を一般化する。
• 証明では、周期的軌道の列が元のハミルトニアンの固定点に収束することを示しており、$ C^0 $-収束とODEの一意性に依存している。
• 摂動されたハミルトニアンの周期的点の列の極限として得られる固定点 $ p $ は、近傍 $ U^a_\delta $ の外にある。もし $ p \in U^a_\delta $ ならば矛盾が生じるため、作用が $ a $ である固定点の存在が証明される。
• この結果は、スペクトル不変量、量子コホモロジー、固定点集合の位相との間に深い関係を確立し、ヴィテルボの臨界値選別子の結果をハミルトニアン設定へ一般化する。