[論文レビュー] Actions of compact groups, C*-index theorem, and families

Evgenij Troitsky|ArXiv.org|Apr 1, 1999

Advanced Operator Algebra Research参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、符号がコンパクトなリー群の作用と可換であるC*-代数上の射影モジュールをファイバーとするバンドル上の楕円型作用素に対して、C*-指数定理を確立する。主な貢献は、基底空間とパラメータ空間の積上のファミリーに対する等長的指数定理の確立であり、作用素代数およびK理論的手法を用いて、非可換および群に等長的な設定への指数理論の拡張を実現する。

ABSTRACT

We prove the index theorem for elliptic operators acting on sections of bundles where fiber is equal to a projective module over a C*-algebra, in the situation of action of a compact Lie group on this algebra as well as on the total space commuting with symbol. As an application the equivariant index theorem for families over the direct product of base by the space of parameters is obtained.

研究の動機と目的

• コンパクトリー群の作用を伴うC*-代数の設定へのアティヤ＝シンガー指数定理の拡張。
• C*-代数上の射影モジュールをファイバーとするバンドル上の楕円型作用素のための指数理論の構築。
• 特に基底空間とパラメータ空間の積上のファミリーに対する等長的設定におけるファミリー指数定理の確立。
• C*-代数的手法を用いて、非可換幾何学、K理論、等長的解析の結果を統一・一般化すること。
• 群の対称性を有する幾何学的および力学的系における等長的指数の計算のためのフレームワークの提供。

提案手法

• 非可換設定におけるベクトルバンドルのファイバーとしてC*-代数上の射影モジュールを用いる。
• 互換性のある群作用を伴うヒルベルトC*-モジュールバンドル上の楕円型作用素の理論を適用する。
• そのような作用素の記号計算を実施し、コンパクト群作用と整合性を保つようにする。
• K理論およびカスパロフの双変K理論フレームワークを用いて、C*-代数の文脈における指数の定義と計算を実施する。
• パラメータ空間の等長的K理論の要素として指数を構成し、全空間および代数への作用を活用する。
• 可換図式および作用素論的構造の形式的表現に、xypicパッケージおよびLaTeX 2.09を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アティヤ＝シンガー指数定理は、C*-代数上の射影モジュールをファイバーとするバンドル上の楕円型作用素へどのように一般化可能か？
• RQ2 コンパクトリー群がC*-代数および全空間の両方の上に作用し、作用素の記号と可換であるとき、指数の構造はいかなるものか？
• RQ3 パラメータ空間が基底多様体と群空間の積であるとき、ファミリー指数はどのように振る舞うか？
• RQ4 等長的K理論は、この非可換的・群に等長的な設定における指数の分類において、どのような役割を果たすか？
• RQ5 コンパクト群の対称性が存在する状況下で、作用素代数およびK理論的道具を用いてC*-指数定理を定式化・証明できるか？

主な発見

• 本稿は、C*-代数上の射影モジュールをファイバーとするヒルベルトC*-モジュールバンドル上の楕円型作用素に対してC*-指数定理を証明する。
• 指数は、コンパクトリー群の作用を伴うパラメータ空間の等長的K理論において、well-definedに定義される。
• 指数はホモトピーに関して不変であり、記号類にのみ依存する。これは、古典的指数定理をC*-代数的設定に拡張するものである。
• 基底空間とパラメータ空間の積上のファミリーに対する等長的指数定理が確立され、従来の結果を一般化する。
• 構成は、全空間および係数C*-代数の両方におけるコンパクト群作用と整合性を持つ。
• 結果は、「J. Math. Sci.」および「Ann. Global Anal. Geom.」に予定されている2本の論文の詳細なプレプリント版として提示されている。