[論文レビュー] Actions of finite groups and smooth functions on surfaces

Bohdan Feshchenko|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2016

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、滑らかな関数の閉じた曲面上の原子（臨界レベル集合の正則近傍）の境界成分における有限群作用の、関数 $f$ を保存する全域的微分同相写像への上昇に関する十分条件を確立する。流れに基づく構成とベクトル場の拡張定理を用いて、境界成分の自己同型群の部分群 $H$ が特定の上昇条件を満たすならば、関数 $f$ を保存する写像群 $\mathcal{S}_V(f)$ へのセクション $s: H \to \mathcal{S}_V(f)$ が存在することを示す。この結果は、局所的グラフトが重複する一次因子を持たない同次多項式と $C^\infty$ 同値である滑らかな関数の広いクラスに適用可能である。

ABSTRACT

Let $f:M o \mathbb{R}$ be a Morse function on a smooth closed surface, $V$ be a connected component of some critical level of $f$, and $\mathcal{E}_V$ be its atom. Let also $\mathcal{S}(f)$ be a stabilizer of the function $f$ under the right action of the group of diffeomorphisms $\mathrm{Diff}(M)$ on the space of smooth functions on $M,$ and $\mathcal{S}_V(f) = \{h\in\mathcal{S}(f)\,| h(V) = V\}.$ The group $\mathcal{S}_V(f)$ acts on the set $π_0\partial \mathcal{E}_V$ of connected components of the boundary of $\mathcal{E}_V.$ Therefore we have a homomorphism $ϕ:\mathcal{S}(f) o \mathrm{Aut}(π_0\partial \mathcal{E}_V)$. Let also $G = ϕ(\mathcal{S}(f))$ be the image of $\mathcal{S}(f)$ in $\mathrm{Aut}(π_0\partial \mathcal{E}_V).$ Suppose that the inclusion $\partial \mathcal{E}_V\subset M\setminus V$ induces a bijection $π_0 \partial \mathcal{E}_V oπ_0(M\setminus V).$ Let $H$ be a subgroup of $G.$ We present a sufficient condition for existence of a section $s:H o \mathcal{S}_V(f)$ of the homomorphism $ϕ,$ so, the action of $H$ on $\partial \mathcal{E}_V$ lifts to the $H$-action on $M$ by $f$-preserving diffeomorphisms of $M$. This result holds for a larger class of smooth functions $f:M o \mathbb{R}$ having the following property: for each critical point $z$ of $f$ the germ of $f$ at $z$ is smoothly equivalent to a homogeneous polynomial $\mathbb{R}^2 o \mathbb{R}$ without multiple linear factors.

研究の動機と目的

• 滑らかな関数の曲面上の原子の境界成分における有限群作用が、関数 $f$ を保存する全域的 $f$-保存微分同相写像に上昇できる条件を同定すること。
• 微分同相写像群の安定化作用を、モース型関数の臨界レベル集合の境界における有限群作用へ拡張すること。
• 原子の境界成分の自己同型群の部分群 $H$ が、安定化群 $\mathcal{S}_V(f)$ に上昇するための十分条件を提供すること。
• モース関数の結果を、重複する一次因子を持たない同次多項式と局所的に $C^\infty$ 同値である滑らかな関数のより広いクラスへ一般化すること。
• 有限群作用を、微分同相写像による関数の全域的対称性として実現する構成的技法を確立すること。

提案手法

• 滑らかな関数 $f$ に対する $\mathrm{Diff}(M)$ の右作用における安定化群 $\mathcal{S}(f)$ を定義し、臨界レベル集合成分 $V$ を保存する部分群 $\mathcal{S}_V(f)$ を導入する。
• 微分同相写像から原子 $\mathcal{E}_V$ の境界成分の同型群への写像 $\phi: \mathcal{S}(f) \to \mathrm{Aut}(\pi_0 \partial \mathcal{E}_V)$ を定義し、境界成分の置換に写す。
• 滑らかな関数 $\xi_{ri}$ に関連するベクトル場の流れ $\mathbf{F}_{\xi_{ri}}$ を用いて、シリンダー型領域 $Y_r$ 上での局所的微分同相写像を定義する。
• 局所的微分同相写像 $\tilde{h}_{ri}$ を $Y_r$ 上から $E_{r0}$ 上への全域的微分同相写像 $w_{ri}$ に、 partition of unity と Seeley の拡張定理を用いて拡張し、$f \circ w_{ri} = f$ が成り立つようにする。
• 原子成分の和集合 $\mathsf{E}$ 上に、局所写像を貼り合わせて全域的微分同相写像 $\lambda_3(h)$ を構成し、成分間の整合性を保ち $f$ を保存する。これにより、$\chi_3: H \to \mathrm{Diff}(\mathsf{E})$ なる同型写像を定義する。
• 原子 $\mathsf{E}$ 上の上昇作用と残りの部分 $\mathcal{E}_{V,a}$ 上の元の作用を組み合わせて、$M$ 上の全域的 $H$-作用 $\Sigma$ を定義し、$s: H \to \mathcal{S}_V(f)$ が存在することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな関数の曲面上の原子の境界成分における有限群作用が、関数 $f$ を保存する全域的 $f$-保存微分同相写像に上昇できる条件は何か？
• RQ2 $\mathcal{S}(f) \to \mathrm{Aut}(\pi_0 \partial \mathcal{E}_V)$ なる同型写像 $\phi$ が、像群 $G = \phi(\mathcal{S}(f))$ の部分群 $H$ からセクションをもつのはいつか？
• RQ3 臨界レベル集合近傍の境界における有限群作用から、関数 $f$ を保存する全域的微分同相写像群作用をどのように構成できるか？
• RQ4 局所的関数のグラフトの構造（例：重複する一次因子を持たない同次多項式）は、このような上昇を可能にする上で果たす役割は何か？
• RQ5 ベクトル場の流れを用いて、シリンダー型領域上での局所的微分同相写像を、曲面全体にわたる $f$-保存微分同相写像へ拡張できるか？

主な発見

• 有限群 $H$ が原子 $\mathcal{E}_V$ の境界成分に作用する場合、その作用が関数 $f$ を保存する全域的微分同相写像群作用に上昇できる十分条件が確立された。この上昇は、$s: H \to \mathcal{S}_V(f)$ なるセクションによって実現される。
• 上昇は、シリンダー型領域 $Y_r$ 上で定義された局所的微分同相写像の流れに基づく拡張を用いて、原子成分の和集合 $\mathsf{E}$ 上に全域的微分同相写像 $\lambda_3(h)$ を構成することで達成される。
• 構成は、境界シリンダー上に定義された滑らかな関数 $\xi_{ri}$ をより大きな領域 $E_{r0}$ 上のベクトル場に拡張することに依存し、その流れが $f$ を保存することを保証する。
• Seeley の拡張定理により、ベクトル場の $C^\infty$ 拡張が保証され、その結果得られる微分同相写像 $w_{ri}$ は $E_{r0}$ 上で $f \circ w_{ri} = f$ を満たす。
• 最終的な全域的 $H$-作用 $\Sigma$ は、$\mathsf{E}$ 上の上昇作用と $\mathcal{E}_{V,a}$ 上の元の作用を組み合わせることで、適切に定義され、連続的であり、セクション $s$ の存在を証明する。
• この結果は、臨界点における局所的グラフトが $\mathbb{R}^2$ 上の重複する一次因子を持たない同次多項式と $C^\infty$ 同値である滑らかな関数 $f$ の広いクラスに適用可能である。