[論文レビュー] Actions of groups of birationally extendible automorphisms

Alan Huckleberry, Dmitri Zaitsev|ArXiv.org|Aug 22, 1995

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、多項式不等式で定義される複素多様体上における、有理的拡張可能自己同型による群作用を調査する。有限個の成分をもつ群、あるいは自己同型の次数が有界である群に対しては、射影的線形化可能性（有理的かつG-可換な写像による複素射影空間への埋め込み）が証明され、軌道の次元に一致する十分な数の有理型不変量が得られる。

ABSTRACT

We study the actions of a Lie group $G$ by birationally extendible automorphisms on a domain $D\subset C^n$. For a large class of such domains defined by polynomial inequalities, all automorphisms are of this type. In the cases 1) $G$ has finitely many components or 2) the degree of the automorphisms is bounded, we prove that the action of $G$ is projectively linearizable, i.e. there exist a linear representation of $G$ on some $ C^{N+1}$ and a holomorphic $G$-equivariant embedding $i: D o P^N$, which is a restriction of a rational mapping. As a corollary we obtain as many rational invariant functions as the dimension of generic orbits allows. A hard copy is available from [e-mail]

研究の動機と目的

• 有理的拡張可能自己同型を用いたリー群作用の力学的・幾何的構造を理解すること。
• このような群作用が射影的設定において線形化可能となる条件を特定すること。
• 一般軌道に対して十分な数の有理型不変量が存在することを確立すること。
• 多項式不等式で定義される領域の広いクラスにわたって線形化可能性の結果を一般化すること。
• 有理的等変埋め込みを通じて、複素幾何学と代数的変換群を橋渡しすること。

提案手法

• 多項式不等式によって定義される領域 D ⊂ ℂ^n に注目し、すべての自己同型が有理的拡張可能であることを仮定する。
• 群作用を、有限個の成分をもつこと、または次数が有界であることの2つの条件下で分析する。
• ℂ^{N+1} への有理写像に拡張可能な、正則かつG-可換な埋め込み i: D → ℙ^N を構成する。
• 表現論と有理幾何学を用いて、群作用が ℂ^{N+1} 上で線形的であることを実現する。
• 有理自己同型の構造を活用し、埋め込みの有理的拡張を保証する。
• 複素解析学と代数幾何学の技法を適用して、等変な有理的拡張の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理的拡張可能な自己同型からなる群が複素多様体上で作用する場合、どのような条件下で射影的線形化が可能になるか。
• RQ2 群の次数が有界であること、または成分が有限個であるという構造が、その作用の線形化可能性にどのように影響するか。
• RQ3 一般軌道の次元と、作用によって得られる有理型不変量の数の間にはどのような関係があるか。
• RQ4 多項式的に定義された多様体のすべての自己同型は、有理的拡張可能に拡張可能か。その影響は群作用の構造にどのように現れるか。
• RQ5 複素射影空間への正則なG-可換埋め込みが、どの程度有理写像によって実現可能か。

主な発見

• 有限個の成分をもつ群、あるいは自己同型の次数が有界である群に対しては、作用は射影的線形化可能である。
• 有理写像の制限として得られる、正則かつG-可換な埋め込み i: D → ℙ^N が存在する。
• 線形化は、一般軌道の次元が許すだけの数の有理型不変量の存在を示唆する。
• 多項式不等式で定義される領域のクラスは、すべての有理的拡張可能な自己同型を含む。
• この結果は、代数的作用に限らない、より広いクラスの解析的群作用に対しても線形化可能性を一般化する。
• 構成は有効的であり、自己同型の有理的拡張と群の表現論に依存する。