[論文レビュー] Actions of the Absolute Galois Group

Norbert A’Campo, Lizhen Ji+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 64被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ガロア群の作用を通じて有理数の絶対ガロア群を理解するグロテンディークのプログラムを概説する。特に、ティヒミュラー・タワー、デッサン・デ・エンファンツ、グロテンディーク＝ティヒミュラー群といった幾何的・位相的対象を対象にしている。代数的曲線のモジュライ空間のプロファイント基本群へのガロア群の非線形作用が、算術を幾何学的に理解する道筋を示しており、中心的な予想は、プロファイントティヒミュラー・タワーへのガロア作用がグロテンディーク＝ティヒミュラー群に同型であるというものである。

ABSTRACT

We review some ideas of Grothendieck and others on actions of the absolute Galois group {\\Gamma} Q of Q (the automorphism group of the tower of finite extensions of Q), related to the geometry and topology of surfaces (mapping class groups, Teichm{\\"u}ller spaces and moduli spaces of Riemann surfaces). Grothendieck's motivation came in part from his desire to understand the absolute Galois group. But he was also interested in Thurston's work on surfaces, and he expressed this in his Esquisse d'un programme, his R{\\'e}coltes et semailles and on other occasions. He introduced the notions of dessin d'enfant, Teichm{\\"u}ller tower, and other related objects, he considered the actions of {\\Gamma} Q on them or on their etale fundamental groups, and he made conjectures on some natural homomorphisms between the absolute Galois group and the automor-phism groups (or outer automorphism groups) of these objects. We mention several ramifications of these ideas, due to various authors. We also report on the works of Sullivan and others on nonlinear actions of {\\Gamma} Q , in particular in homotopy theory. The final version of this paper will appear as a chapter in Volume VI of the Handbook of Teichm{\\"u}ller theory. This volume is dedicated to the memory of Alexander Grothendieck.

研究の動機と目的

• ガロア群 $\Gamma_{\mathbb{Q}}$ の非線形作用が、モジュライ空間や基本群といった幾何的対象を通じて、その絶対ガロア群を理解するグロテンディークのビジョンを概説すること。
• デッサン・デ・エンファンツとティヒミュラー・タワーが、ガロア作用を理解するための組合せ的・幾何的モデルとして果たす役割を説明すること。
• ガロア群 $\Gamma_{\mathbb{Q}}$ からプロファイントグロテンディーク＝ティヒミュラー群への準同型が同型であるという予想を検討すること。
• カルタグラフィック群の役割と、ティヒミュラー理論および曲面位相との関係を明確にすること。
• 主要な予想の現在の状況と、デリーニの懐疑的見解や最近の進展を踏まえた証明の困難さを評価すること。

提案手法

• モジュライ空間 $\mathcal{M}_{g,n}$ 及びその安定コンactification のエタール基本群への $\Gamma_{\mathbb{Q}} = \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ の作用を分析する。
• ベリの写像の組合せ的実現としてのデッサン・デ・エンファンツ理論を検討し、$\overline{\mathbb{Q}}$ 上に定義された代数的曲線とリーマン面上の埋め込みグラフを結びつける。
• ティヒミュラー・タワーを、自然な射影を伴う $\mathcal{M}_{0,n}$ のプロファイント基本群の族として導入し、退化に沿った射影系を形成する。
• 再構成原理を適用して、双方向の弧への群作用の安定化部分群が曲面を決定することを示し、位相と群論的データを結びつける。
• カルタグラフィック群をティヒミュラー空間の組合せ的モデルとして用い、有限指数の部分群がコンパクト曲面に対応することを示す。
• グロテンディーク＝ティヒミュラー群を、ティヒミュラー・タワーに作用するプロファイント群として導入し、$\Gamma_{\mathbb{Q}}$ がその上に同型に写像されるという予想を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 絶対ガロア群 $\Gamma_{\mathbb{Q}}$ は、曲線のモジュライ空間のエタール基本群への作用を通じて完全に理解可能であろうか？
• RQ2 グロテンディークが予想したように、$\Gamma_{\mathbb{Q}}$ からプロファイントグロテンディーク＝ティヒミュラー群への準同型は同型であろうか？
• RQ3 デッサン・デ・エンファンツは、$\overline{\mathbb{Q}}$ 上に定義された代数的曲線の算術的情報をどのように符号化するか？
• RQ4 カルタグラフィック群とティヒミュラー理論の正確な関係は何か？また、それはニールセンの実現問題を組合せ的に実現可能であろうか？
• RQ5 グロテンディーク＝ティヒミュラー理論における主要な結果の証明がなぜ長らく未解決のままであるのか？また、言語の複雑さにもかかわらず、最近の進展は何か？

主な発見

• ベリの定理により、絶対ガロア群 $\Gamma_{\mathbb{Q}}$ は、モジュライ空間 $\mathcal{M}_{0,n}$ のプロファイント基本群に忠実に作用し、算術と幾何学を結びつける。
• デッサン・デ・エンファンツは、$\overline{\mathbb{Q}}$ 上に定義された代数的曲線の組合せ的モデルを提供し、ガロア群がデッサン・デ・エンファンツを置換することで作用する。
• ティヒミュラー・タワーは、$\mathcal{g,n}$ のプロファイント基本群の射影系として構成され、$\Gamma_{\mathbb{Q}}$ の作用を符号化する普遍的対象であると予想されている。
• カルタグラフィック群は、曲面上の双方向の弧に推移的に作用し、その安定化部分群が曲面を分類する。これにより、ティヒミュラー空間の組合せ的実現が得られる。
• プロファイントグロテンディーク＝ティヒミュラー群は、$\Gamma_{\mathbb{Q}}$ と同型であると予想されているが、未だ未解決であり、中心的な未解決問題の一つとされている。
• デリーニのデッサン・デ・エンファンツの言語の有用性に対する懐疑的見解にもかかわらず、最近の概説や書籍の登場により、分野は成熟し、共通理解と進展が進んでいる。