[論文レビュー] Active Control of the Parametric Resonance in the Modified Rayleigh-Duffing Oscillator

C. H. Miwadinou, A. V. Monwanou+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2013

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、時間遅れフィードバックを用いたアクティブ制御戦略を提案し、変更されたレイリー＝デューフィング振動子におけるパラメトリック共振の抑制を検討する。平均化法とルーヴィット＝ハーワースの安定性解析を適用することで、時間遅れとフィードバックゲインを適切に選択することにより、振動振幅を著しく低減し、非自明な定常解の安定領域を広げられることを示した。これは、ホップ分岐およびサドルノード分岐を効果的に制御することにつながる。

ABSTRACT

The present paper examines the active control of parametric resonance in modified Rayleigh-Duffing oscillator. We used the method of averaging to obtain steady-state solutions. We have found the critical value of the parametrical amplitude which indicates the boundary layer where the control is efficient in reducing the amplitude vibration. We have also found the effects of excitation parameters and time-delay on dynamical of this system with the principal parametric resonance. We have obtained for this oscillator the Hopf bifurcation and saddle-node bifurcation for certains values of parametric parameters and time-delay. We have studied the influence of parameter $k_2$ which is one of the parameters which modify the ordinary Rayleigh-Duffing oscillator. We have discussed the appropriate choice of the time-delay and control gain. We finally studied the stability of fixed point and it is found that the appropriate choice of the time-delay can broaden the stable region of the non-trivial steady-state solutions which will enhance the control efficiency. Numerical simulations are performed in order to confirm analytical results.

研究の動機と目的

• 時間遅れフィードバックを用いた変更されたレイリー＝デューフィング振動子におけるパラメトリック共振のアクティブ制御を調査すること。
• 制御が有効となるようになるパラメトリック振幅の臨界閾値を特定すること。
• 励起パラメータ、時間遅れ、フィードバックゲインがシステムの安定性および分岐行動に与える影響を分析すること。
• 安定性を高め、振動振幅を低減する最適な時間遅れおよび制御ゲインの値を特定すること。
• パrameter $k_2$ が制御性能および分岐構造に与える影響を調査すること。

提案手法

• 変更されたレイリー＝デューフィング振動子に時間遅れ付き位置および速度フィードバックを適用し、第一近似定常解を導出するための平均化法の適用。
• 元の2階非線形常微分方程式から振幅および位相方程式を導出し、周期的応答を分析すること。
• ヤコビ行列の固有値を解析することで、非自明な定常解の安定性を評価するためのルーヴィット＝ハーワース基準の使用。
• 分岐ダイアグラムおよび周波数応答曲線の作成により、パラメトリック励起および時間遅れがシステムダイナミクスに与える影響を可視化すること。
• 解析結果、特に安定領域および制御下での振幅低減を検証するための数値シミュレーション。
• アクティブ制御をモデル化するため、振動子方程式に時間遅れ付きフィードバック項 $-b x(t- au)$ および $-c \.dot{x}(t- au)$ を組み込むこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間遅れフィードバックは、変更されたレイリー＝デューフィング振動子におけるパラメトリック共振の振幅にどのように影響するか？
• RQ2 制御が有効となるようになるパラメトリック振幅およびデチューニングパラメータの臨界値は何か？
• RQ3 フィードバックゲインおよび時間遅れは、非自明な定常解の安定性にどのように影響するか？
• RQ4 パrameter $k_2$ は、システムの分岐構造および制御効率にどのような役割を果たすか？
• RQ5 アクティブ制御下で、どのような条件下でホップ分岐またはサドルノード分岐が発生するか？

主な発見

• パラメトリック振幅の臨界値が、制御が有効に振動振幅を低減するようになる閾値として特定された。
• 位置用時間遅れ制御ゲイン ($b$) が速度用 ($c$) よりも大きい場合、非自明な定常解の安定領域が広がる。
• 適切な時間遅れとフィードバックゲインの選択により、ホップ分岐およびサドルノード分岐の両方を抑制でき、システムの安定性が向上する。
• パrameter $k_2$ は、安定領域の形状および範囲、およびパラメトリック共振の振幅に顕著な影響を与える。
• 数値シミュレーションにより、最適な時間遅れおよびフィードバックゲイン設定下で、一次共振時の振動振幅が低減することが確認された。
• ルーヴィット＝ハーワース基準により、安定性には $T > 0$ および $D > 0$ が必要であり、$T$ および $D$ の明示的条件がシステムパラメータおよび時間遅れの関数として導出された。