[論文レビュー] Active elastic metamaterials with equidistant solely resonant bandgaps

Hasan B. Al Ba’ba’a|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2023

Acoustic Wave Phenomena Research参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、支持部に装備された弾性要素の周波数依存剛性を用いて、無限個の等間隔で、かつ同一幅の局所共振型バンドギャップを実現する2つのアクティブな弾性メタマテリアルの設計を提案する。バンドギャップは伝送行列法（TMM）を用いた解析によって設計され、有限要素法（FEM）を用いた周波数応答シミュレーションによって検証されており、ブラッグ散乱の影響を受けることなく、複数の高調波にわたる正確で調整可能な波の遮断が可能である。

ABSTRACT

Elastic metamaterials are man-made structures with properties that transcend naturally occurring materials. One predominant feature of elastic metamaterials is locally resonant bandgaps, i.e., frequency ranges at which wave propagation is blocked. Locally resonant bandgaps appear at relatively low frequency and arise from the existence of periodically placed mechanical local resonators. Typically, elastic metamaterials exhibit both locally resonant and Bragg-scattering bandgaps, which can generally be different in width and frequency ranges. This paper proposes two designs of active elastic metamaterials that only exhibit locally resonant bandgaps, which are infinite in number, evenly spaced in the frequency spectrum, and identical in width. The mathematical model is established using the transfer matrix method and synthesis of locally resonant bandgaps is achieved via an active elastic support with carefully designed frequency-dependent stiffness. A single unit cell of each proposed metamaterials is thoroughly studied, and its dispersion relation is derived analytically, along with the periodically repeating bandgap limits and widths. Following the dispersion analysis and bandgap parametric studies, finite arrays of the proposed metamaterials are considered, and their frequency response is calculated to verify the analytical predictions from dispersion analyses.

研究の動機と目的

• ブラッグ散乱の寄与を除き、完全に局所共振型バンドギャップを示すアクティブな弾性メタマテリアルの設計。
• 周波数上で等間隔に配置され、同一幅である無限個のバンドギャップを実現すること。
• 無限個の局所共振周波数を有する分散特性を合成するための伝送行列法（TMM）を用いた数学的フレームワークの構築。
• 有限配列の有限要素法（FEM）周波数応答解析を通じて、解析的予測の検証。
• アクティブで周波数に合わせて調整可能な剛性要素を用いて、将来的に複雑な分散特性の設計を可能にする。

提案手法

• アクティブなメタマテリアルの1ユニットセルの分散関係を導出するために、伝送行列法（TMM）を用いる。
• 接地された共振器に周波数依存剛性要素を設計し、一定間隔で無限個の局所共振周波数を生成する。
• 質量および剛性分布から得られるパラメータを用いて、駆動波の分散関係を伝送行列法によって定式化する。
• 分散方程式を解き、波数の実部および虚数部を分析することで、バンドギャップの境界および幅を解析的に定義する。
• MATLABを用いて2ノード線形ロッド要素を用いた有限要素法（FEM）を用い、有限配列（20ユニットセル）の周波数応答をシミュレートする。
• 分散解析から得たバンドギャップの位置および幅と、シミュレートされた周波数応答における振幅低下を比較することで、解析的予測の妥当性を検証する。

Figure 1: Schematics of a typical discrete diatomic lattice (left) and EMM (right), showing the inertial and stiffness properties for the self-repeating unit cell. Typical dispersion relations of both cases are shown in the figure for reference. Bragg and locally-resonant (LR) bandgaps are observed

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラッグ散乱の寄与を除き、完全に局所共振型バンドギャップを示すアクティブな弾性メタマテリアルを設計可能か？
• RQ2 アクティブな剛性チューニングを用いて、無限個の等間隔で同一幅の局所共振型バンドギャップを設計可能か？
• RQ3 周波数依存剛性関数が、異なるパrameter領域におけるバンドギャップの間隔、幅、安定性にどのように影響を与えるか？
• RQ4 解析的分散予測と有限要素モデルの動的応答との一致度合いはどの程度か？
• RQ5 提案された設計手法は、弾性メタマテリアルにおける他の複雑な分散特性の合成に一般化可能か？

主な発見

• 最初の設計では、共振周波数 Ω = nπ（n ≥ 1）に中心を置く等間隔のバンドギャップが生成され、ゼロ周波数のバンドギャップは他のものと比較して半分の幅を有する。
• 2番目の設計では、3π/2から始まり、Ω = (2n+1)π/2に中心を置くバンドギャップが生成され、すべてのバンドギャップは同一幅であり、その反共振周波数に関して対称である。
• 減衰パラメータ γ が増加するにつれ、最初の設計ではバンドギャップ幅が π に収束し、2番目の設計では 2π に収束するが、両者とも γ とともに単調に増加する。
• 最初の設計では γ → 0 のときゼロ周波数のバンドギャップが消滅するが、2番目の設計では γ の値に関わらずそのようなバンドギャップは存在せず、低周波数共振の不在が確認される。
• 20ユニットセルの有限配列に対するFEMシミュレーションでは、解析的予測と非常に良好に一致しており、変位応答における急激な振幅低下が、正確に予測されたバンドギャップ位置に対応している。
• 局所共振周波数において波数の虚数部が発散することから、バンドギャップの存在が確認され、解析的バンドギャップ境界の妥当性が裏付けられる。

Figure 2: ( top ) Schematic of an elastic rod with a unit-cell length of $\ell$ and an equally-spaced elastic foundation elements $k_{\text{d}}$ . The continuous elastic rod has a Young’s modulus and density of $E$ and $\rho$ , respectively. ( bottom ) Frequency response of the frequency-dependent s