[論文レビュー] Active-Passive Brownian Particle in Two Dimensions

Tayeb Jamali|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2020

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ひとこと要約

本稿では、2次元における自己駆動速度がランダムテレグラフ過程により確率的に0（受動的）と一定値（能動的）の間でスイッチングする、能動的・受動的ブラウン運動粒子モデルを導入する。移動量のモーメントおよび効果的拡散係数の解析的表現を導出し、このモデルが受動的および能動的ブラウン運動の間を滑らかに補間し、大スケールでラン・アンド・タンブル粒子（RTP）と等価にマッピングされることを示す。

ABSTRACT

We describe a two-dimensional model for active particles whose self-propulsion speed is not fixed, but varies in time, and whose motion is subject to both translational and rotational diffusion. In the conventional treatment of active Brownian motion, the self-propulsion speed is taken to be constant - an assumption convenient for analysis but poorly matched to many real systems. Here we relax that assumption, allowing the speed $v(t)$ to fluctuate stochastically between two values: $v=0$ (a passive state) and $v=s$ (an active state). Transitions between these states are taken to follow a random telegraph process. This ``active-passive Brownian particle'' inherits limiting behaviors from both the purely active and purely passive Brownian cases. Analytical expressions for the first two displacement moments, and for the resulting effective diffusion coefficient, make this dual character explicit. Moreover, by an appropriate identification of parameters, a run-and-tumble particle - such as a motile bacterium - can be mapped onto this model in such a way that their large-scale diffusivities coincide.

研究の動機と目的

• 自己駆動速度が時間的に変化する能動的粒子運動をモデル化し、標準的な能動的ブラウン運動における速度一定の仮定を越えること。
• 間歇的活動（能動的／受動的スイッチング）が2次元における並進拡散および回転拡散に与える影響を調査すること。
• 確率的速度スイッチングの下で、変位の最初の2次のモーメントおよび効果的拡散係数の解析的表現を導出すること。
• このモデルが、受動的および能動的ブラウン運動の両方の特徴を同時に捉えられることを示すこと。
• 能動的・受動的モデルとラン・アンド・タンブル粒子（RTP）との間のマッピングを確立し、長時間における拡散係数が等価であることを示すこと。

提案手法

• 自己駆動速度 $v(t)$ が時間に依存する2次元ランジュバン方程式を用いて粒子をモデル化し、$v(t)$ は2状態のマルコフ過程として定義される：$v=0$（受動的）または $v=s$（能動的）。
• 遷移率 $\alpha$（受動的から能動的）および $\beta$（能動的から受動的）を用いたランダムテレグラフ過程により速度スイッチングを実装する。
• 2状態マルコフ過程のマスター方程式を用いて、速度状態の条件付き確率 $p(s,t|v_0,0)$ を導出する。
• フォッカー・プランクアプローチを用いて、方位角確率密度 $p(\varphi,t)$ を計算し、これは分散 $2D_r t$ のガウス分布であるため、方向性の平均値を計算可能となる。
• 遷移密度を用いて、集合平均 $\langle \cos\varphi(t) \rangle$、$\langle \sin\varphi(t) \rangle$、および相関 $\langle \cos\varphi(t_1)\cos\varphi(t_2) \rangle$ を計算する。
• 速度と方向性統計を組み合わせ、変位の最初の2次のモーメントおよび効果的拡散係数 $D_{\text{eff}}$ を解析的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的スイッチングが2次元ブラウン運動粒子の平均二乗変位に与える影響は何か？
• RQ2 能動的・受動的モデルにおける効果的拡散係数の解析的形は何か？また、$D_t$、$D_r$、$s$、$\alpha$、$\beta$ にどのように依存するか？
• RQ3 能動的・受動的モデルは、大腸菌のようなラン・アンド・タンブル粒子（RTP）の長時間拡散挙動を再現できるか？
• RQ4 どの時間領域で、能動的・受動的モデルは純粋なブラウン運動または能動的ブラウン運動に類似した挙動を示すか？
• RQ5 速度スイッチングの下で、方向性相関関数 $\langle \cos\varphi(t_1)\cos\varphi(t_2) \rangle$ および $\langle \sin\varphi(t_1)\sin\varphi(t_2) \rangle$ は時間とともにどのように変化するか？

主な発見

• 等方性およびゼロ平均のノイズのため、変位の1次モーメント $\langle \mathbf{r}(t) \rangle$ はゼロとなり、平衡状態に類似した挙動と一致する。
• 2次モーメント $\langle (\mathbf{r}(t) - \mathbf{r}_0)^2 \rangle$ は、ボールスティックから拡散へのクロスオーバーを示し、効果的拡散係数は $D_{\text{eff}} = D_t + \frac{s^2}{2} \cdot \frac{\alpha \beta}{(\alpha + \beta)^2} \cdot \frac{1}{D_r}$ となる。
• 高速スイッチングの極限（$\alpha, \beta \to \infty$）では、モデルは速度が一定値 $s$ の標準的な能動的ブラウン運動に還元され、一貫性が確認される。
• 低速スイッチングの極限（$\alpha, \beta \to 0$）では、粒子は拡散係数 $D_t$ の受動的ブラウン運動粒子として振る舞い、モデルが受動的および能動的領域の間を滑らかに補間することを示す。
• 能動的・受動的モデルで導出した効果的拡散係数は、非相互作用ラン・アンド・タンブル粒子（RTP）モデルのそれと一致し、大スケールでのマッピングが確認される。
• 方向性相関関数は、$D_r$ に依存する時間定数で指数関数的に減衰し、$t_2 > t_1$ の場合に $\langle \cos\varphi(t_1)\cos\varphi(t_2) \rangle \sim e^{-D_r(t_2 - t_1)}$ となる。これは、時間の経過とともに方向性の記憶が失われる傾向を示している。