[論文レビュー] Actor Programming Languages

Carl Hewitt|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2009

Computability, Logic, AI Algorithms被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、数学が自身の整合性を証明できないと広く信じられている考えを挑戦し、型付き文法において必要な固定点が存在しないため、ゲーデルの証明で使われる自己言及文は構成できないと主張する。数学の表現力に妥協を来さずに整合性を確立し、整合性の強靱性（inconsistency robustness）を数学的発展における前向きな力と位置づける。

ABSTRACT

Inconsistency Robustness is performance of information systems with pervasively inconsistent information. Inconsistency Robustness of the community of professional mathematicians is their performance repeatedly repairing contradictions over the centuries. In the Inconsistency Robustness paradigm, deriving contradictions have been a progressive development and not game stoppers. Contradictions can be helpful instead of being something to be swept under the rug by denying their existence, which has been repeatedly attempted by Establishment Philosophers (beginning with some Pythagoreans). Such denial has delayed mathematical development. This article reports how considerations of Inconsistency Robustness have recently influenced the foundations of mathematics for Computer Science continuing a tradition developing the sociological basis for foundations. The current common understanding is that Godel proved Mathematics cannot prove its own consistency, if it is consistent. However, the consistency of mathematics is proved by a simple argument in this article. Consequently, the current common understanding that Godel proved Mathematics cannot prove its own consistency, if it is consistent is inaccurate. Wittgenstein long ago showed that contradiction in mathematics results from the kind of self-referential sentence that Godel used in his argument that mathematics cannot prove its own consistency. However, using a typed grammar for mathematical sentences, it can be proved that the kind self-referential sentence that Godel used in his argument cannot be constructed because required the fixed point that Godel used to the construct the self-referential sentence does not exist. In this way, consistency of mathematics is preserved without giving up power.

研究の動機と目的

• ゲーデルが数学が自身の整合性を証明できないことを示したという一般的な解釈に反論すること。
• 数学における矛盾が致命的ではなく、矛盾耐性（inconsistency robustness）を通じて体系的に管理可能であることを示すこと。
• ゲーデルの不完全性定理の中心的役割を果たす自己言及文が、型付き数学的文法では構成できないことの証明。
• 文法的制約によって整合性を保ちながら、数学の表現力の完全性を維持すること。
• 矛盾の修復という観点を強調することで、数学の基礎に関する社会的・歴史的基盤を再確立すること。

提案手法

• 型付き文法形式を用いて、ゲーデルの証明で使われる自己言及文の文法的構造を分析する。
• ゲーデルの自己言及文を構成するために必要な固定点が、型付き文法枠組み内に存在しないことを示す。
• ウィトゲンシュタインの自己言及への批判を適用し、このような文が型付きシステムにおいて文法的に整合性のないものであることを示す。
• 問題を起こす自己言及文の形成可能性を排除することで、数学の整合性証明を再構築する。
• 歴史的に数学者が実践してきた矛盾耐性を、整合的数学的発展の基礎として形式化できると主張する。
• ゲーデルの定理を、整合性への障壁ではなく、無型システムにおける文法的過剰な拡張の結果であると再解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゲーデルの不完全性の証明で使われる自己言及文は、型付き数学的文法内に構成可能か？
• RQ2 型付き文法において固定点が存在しないことは、数学が自身の整合性を証明できないというゲーデルの主張を無効にするか？
• RQ3 自己言及的パラドックスが文法的制約によって排除された場合、数学は力強くかつ整合的であると言えるか？
• RQ4 歴史的に数学者が矛盾を解決するために実践してきた方法は、現代の数学の基礎にどのように寄与するか？
• RQ5 ゲーデルが数学が自身の整合性を証明できないことを示したという広く信じられている考えは、彼の仕事の正確な解釈であるか？

主な発見

• ゲーデルの証明の中心的自己言及文は、必要な固定点が存在しないため、型付き文法システムでは構成できない。
• 文法的に無効な自己言及的構成を排除することで、数学の表現力に妥協を来さずに整合性が保たれる。
• ゲーデルが数学が自身の整合性を証明できないことを示したという一般的な解釈は誤りであり、彼の定理の誤読に起因する。
• 数学における矛盾は本質的に破壊的ではなく、歴史的に修復と精錬を通じて進歩をもたらしてきた。
• 矛盾を認識し、それを解消するという矛盾耐性は、現実的かつ歴史的に裏付けられた数学的発展の基盤として成立する。
• ウィトゲンシュタインの自己言及への批判は、型付きシステムにおいてこのような文が構成不能であるという形式的証明によって裏付けられる。